Самостоятельная работа: Сложение вероятностей
Самостоятельная работа по теме «Сложение вероятностей» — это интерактивное проверочное задание, рассчитанное на учащихся 10 класса. Тест поможет проверить знание основных правил и формул сложения вероятностей, а также умение применять их при решении задач.
1
Какая формула выражает правило сложения вероятностей несовместных событий A и B?
Правильный ответ:
P(A+B) = P(A) + P(B)Пояснение:
Если события A и B несовместны, то они не могут произойти одновременно, т.е. их пересечение является пустым множеством. В этом случае вероятность наступления хотя бы одного из событий (т.е. их объединения, обозначаемого как A+B или A∪B) равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B) = P(A) + P(B). Например, если мы бросаем кубик, то события «выпало четное число» и «выпало 5» несовместны, и вероятность выпадения четного числа или 5 равна сумме вероятностей этих событий.2
Какая формула выражает правило сложения вероятностей совместных событий A и B?
Правильный ответ:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B)Пояснение:
Если события A и B совместны, то они могут произойти одновременно, то есть имеют непустое пересечение. В этом случае вероятность наступления хотя бы одного из событий (их объединения) вычисляется по формуле: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B), где P(A·B) — вероятность одновременного наступления обоих событий (их пересечения). Вычитание P(A·B) необходимо, чтобы избежать двойного подсчета вероятности пересечения событий, которая включается и в P(A), и в P(B).3
Что означает выражение P(A+B)?
Правильный ответ:
Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий A или B.Пояснение:
Выражение P(A+B) означает вероятность объединения событий A и B, то есть вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий (либо A, либо B, либо оба вместе). Символ «+» в теории вероятностей часто заменяют на символ объединения «∪», поэтому данное выражение может записываться и как P(A∪B). Если события несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B), а если совместны, то P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B).
4
Что означает выражение P(A·B)?
Правильный ответ:
Вероятность того, что произойдут и событие A, и событие B.Пояснение:
Выражение P(A·B) означает вероятность пересечения событий A и B, то есть вероятность того, что произойдут оба события одновременно. Символ «·» в теории вероятностей часто заменяют на символ пересечения «∩», поэтому данное выражение может записываться и как P(A∩B). Для независимых событий P(A·B) = P(A) × P(B), а для зависимых событий P(A·B) = P(A) × P(B|A), где P(B|A) — условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.
5
Чему равна вероятность объединения двух несовместных событий с вероятностями 0,3 и 0,4?
Правильный ответ:
0,7Пояснение:
Для несовместных событий A и B вероятность их объединения равна сумме вероятностей: P(A+B) = P(A) + P(B). В данном случае P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4, поэтому P(A+B) = 0,3 + 0,4 = 0,7. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном испытании. Например, при бросании монеты выпадение орла и решки — несовместные события. При решении таких задач важно убедиться, что события действительно несовместны, иначе следует использовать другую формулу.6
Чему равна вероятность объединения двух совместных событий с вероятностями 0,5 и 0,6, если вероятность их пересечения равна 0,2?
Правильный ответ:
0,9Пояснение:
Для совместных событий A и B вероятность их объединения вычисляется по формуле: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B). В данном случае P(A) = 0,5, P(B) = 0,6 и P(A·B) = 0,2, поэтому P(A+B) = 0,5 + 0,6 - 0,2 = 1,1 - 0,2 = 0,9. События называются совместными, если они могут произойти одновременно в одном испытании. Например, при бросании игральной кости выпадение четного числа и числа, большего 3, — совместные события, так как 4 и 6 удовлетворяют обоим условиям.7
В корзине лежат 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Какова вероятность вытащить наугад красный или зеленый шар?
Правильный ответ:
0,7Пояснение:
В корзине всего 5 + 3 + 2 = 10 шаров. Вероятность вытащить красный шар P(A) = 5/10 = 0,5. Вероятность вытащить зеленый шар P(B) = 2/10 = 0,2. События «вытащить красный шар» и «вытащить зеленый шар» несовместны, так как шар не может быть одновременно и красным, и зеленым. Поэтому вероятность вытащить красный или зеленый шар равна сумме вероятностей: P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,5 + 0,2 = 0,7.8
В группе 25 студентов, из них 15 изучают английский язык, 10 — немецкий, а 5 — оба языка. Какова вероятность того, что случайно выбранный студент изучает хотя бы один из этих языков?
Правильный ответ:
0,8Пояснение:
Пусть A — событие «студент изучает английский язык», B — событие «студент изучает немецкий язык». Тогда P(A) = 15/25 = 0,6, P(B) = 10/25 = 0,4, P(A·B) = 5/25 = 0,2. События A и B совместны, так как студент может изучать оба языка одновременно. Вероятность того, что случайно выбранный студент изучает хотя бы один из языков, вычисляется по формуле: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 0,6 + 0,4 - 0,2 = 0,8. Это означает, что 80% студентов группы изучают английский или немецкий язык, или оба языка сразу.9
Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет 6?
Правильный ответ:
11/36Пояснение:
Пусть A — событие «на первом кубике выпала 6», B — событие «на втором кубике выпала 6». Тогда P(A) = 1/6, P(B) = 1/6. События A и B совместны, так как на обоих кубиках может выпасть 6. Вероятность их пересечения P(A·B) = P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36, так как кубики бросаются независимо друг от друга. Вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпадет 6, равна: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 1/6 + 1/6 - 1/36 = 6/36 + 6/36 - 1/36 = 11/36.10
В лотерее 100 билетов, из них 10 выигрышных. Игрок покупает 2 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них окажется выигрышным?
Правильный ответ:
0,19Пояснение:
Пусть A — событие «первый билет выигрышный», B — событие «второй билет выигрышный». Тогда P(A) = 10/100 = 0,1, P(B) = 10/100 = 0,1. События A и B не являются независимыми, так как выбор второго билета зависит от того, какой билет был выбран первым. Проще вычислить вероятность противоположного события (ни один билет не выигрышный): P(не A и не B) = (90/100) × (89/99) = 0,81. Тогда вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный: P(A+B) = 1 - P(не A и не B) = 1 - 0,81 = 0,19.11
Если P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 и P(A·B) = 0,1, то чему равна вероятность P(A+B)?
Правильный ответ:
0,6Пояснение:
События A и B совместны, так как вероятность их пересечения P(A·B) = 0,1 > 0. Поэтому для вычисления вероятности их объединения применяем формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 0,3 + 0,4 - 0,1 = 0,6. Эта формула обеспечивает корректный учет элементов, которые принадлежат и A, и B одновременно — их нужно учесть только один раз, поэтому вероятность пересечения вычитается. Если бы события были несовместны, то P(A·B) было бы равно 0, и формула свелась бы к простому сложению: P(A+B) = P(A) + P(B).12
Если P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 и известно, что события A и B несовместны, то чему равна вероятность P(A+B)?
Правильный ответ:
0,8Пояснение:
Если события A и B несовместны, то их пересечение является пустым множеством, и вероятность этого пересечения равна нулю: P(A·B) = 0. В этом случае вероятность объединения событий вычисляется как сумма их вероятностей: P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,5 + 0,3 = 0,8. Несовместность событий означает, что они не могут произойти одновременно в одном испытании. Например, при однократном подбрасывании монеты события «выпал орел» и «выпала решка» несовместны.13
В ящике лежат 7 красных, 5 синих и 8 зеленых шаров. Какова вероятность вытащить наугад шар, который не является красным?
Правильный ответ:
0,65Пояснение:
Всего в ящике 7 + 5 + 8 = 20 шаров. Вероятность вытащить красный шар P(A) = 7/20 = 0,35. Событие «вытащить шар, который не является красным» — это противоположное событие к A, обозначаемое как «не A» или A̅. По свойству противоположных событий P(A̅) = 1 - P(A) = 1 - 0,35 = 0,65. Другой способ решения: вероятность вытащить синий или зеленый шар P(B+C) = P(B) + P(C) = 5/20 + 8/20 = 13/20 = 0,65, так как события «вытащить синий шар» и «вытащить зеленый шар» несовместны.14
При броске игральной кости какова вероятность того, что выпадет число, которое либо четное, либо больше 4?
Правильный ответ:
2/3Пояснение:
Пусть A — событие «выпало четное число» (это числа 2, 4, 6), тогда P(A) = 3/6 = 1/2. Пусть B — событие «выпало число, большее 4» (это числа 5, 6), тогда P(B) = 2/6 = 1/3. События A и B совместны, так как число 6 является и четным, и большим 4. Вероятность их пересечения P(A·B) = 1/6 (это вероятность выпадения числа 6). Вероятность того, что выпадет число, которое либо четное, либо больше 4, равна: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.
15
В классе 30 учеников, из них 20 занимаются спортом, 15 посещают музыкальную школу, а 10 делают и то, и другое. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается спортом или посещает музыкальную школу?
Правильный ответ:
0,83Пояснение:
Пусть A — событие «ученик занимается спортом», B — событие «ученик посещает музыкальную школу». Тогда P(A) = 20/30 = 2/3 ≈ 0,67, P(B) = 15/30 = 1/2 = 0,5, P(A·B) = 10/30 = 1/3 ≈ 0,33. События A и B совместны, так как ученик может и заниматься спортом, и посещать музыкальную школу. Вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается хотя бы одним из этих видов деятельности: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 0,67 + 0,5 - 0,33 = 0,84 ≈ 0,83 (с округлением до сотых).16
В урне 10 шаров: 3 красных, 4 синих и 3 зеленых. Вынимают наугад два шара. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?
Правильный ответ:
0,27Пояснение:
Пусть A — событие «оба шара красные», B — событие «оба шара синие», C — событие «оба шара зеленые». События A, B и C несовместны, так как два шара не могут быть одновременно разных цветов. P(A) = (3/10) × (2/9) = 6/90 = 1/15. P(B) = (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15. P(C) = (3/10) × (2/9) = 6/90 = 1/15. Вероятность того, что оба шара одного цвета: P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/15 + 2/15 + 1/15 = 4/15 ≈ 0,27. Здесь используется правило сложения вероятностей для нескольких несовместных событий.17
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?
Правильный ответ:
0,94Пояснение:
Пусть A — событие «первый стрелок попал в мишень», B — событие «второй стрелок попал в мишень». Тогда P(A) = 0,8, P(B) = 0,7. Предполагая, что стрелки стреляют независимо друг от друга, вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень: P(A·B) = P(A) × P(B) = 0,8 × 0,7 = 0,56. Вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один стрелок: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94. Этот пример иллюстрирует применение правила сложения вероятностей для совместных независимых событий.18
При бросании двух игральных костей какова вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 5?
Правильный ответ:
10/36Пояснение:
Всего при бросании двух костей существует 6 × 6 = 36 равновероятных исходов. Сумма очков не превосходит 5, если выпадают пары: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1). Это 10 исходов из 36 возможных. Следовательно, вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 5, равна 10/36 = 5/18 ≈ 0,278. Эту задачу можно решить и через вероятность противоположного события (сумма очков больше 5): P(сумма ≤ 5) = 1 - P(сумма > 5), но первый способ проще.19
В коробке 15 деталей, из них 3 бракованные. Наудачу извлекают 2 детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них бракованная?
Правильный ответ:
0,37Пояснение:
Пусть A — событие «хотя бы одна из извлеченных деталей бракованная». Проще вычислить вероятность противоположного события «обе извлеченные детали не бракованные»: P(не A) = (12/15) × (11/14) = 132/210 = 0,63. Тогда P(A) = 1 - P(не A) = 1 - 0,63 = 0,37. Второй способ: можно вычислить вероятности событий «извлекли две бракованные детали» и «извлекли одну бракованную и одну небракованную деталь», а затем их сложить. Но первый способ проще, особенно когда противоположное событие легко описать.20
Если P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 и события A и B независимы, то чему равна вероятность P(A+B)?
Правильный ответ:
0,58Пояснение:
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей: P(A·B) = P(A) × P(B) = 0,4 × 0,3 = 0,12. События A и B совместны (так как P(A·B) > 0), поэтому вероятность их объединения вычисляется по формуле: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = 0,4 + 0,3 - 0,12 = 0,58. Независимость событий означает, что наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Например, результаты последовательных бросков монеты являются независимыми событиями.
