Тест по информатике: Позиционные системы счисления (8 класс)
Тест по информатике «Позиционные системы счисления» для 8 класса — это проверочная работа, нацеленная на оценку понимания принципов кодирования числовой информации. Тест проверяет знание структуры разрядов, понимание развернутой формы записи чисел и умение переводить значения из произвольных систем в десятичную.
1
Какое главное достоинство позиционных систем счисления позволило им исторически вытеснить громоздкие иероглифические и алфавитные нумерации?
Правильный ответ:
Простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (алфавита), необходимых для записи абсолютно любых чисел.Пояснение:
Главным и самым существенным недостатком всех исторических непозиционных систем (вроде римской) была невероятная сложность выполнения базовых арифметических вычислений в столбик. Позиционные системы, благодаря строгой разрядности и правилам переноса, сделали процессы сложения, умножения и деления многозначных чисел доступными, быстрыми и алгоритмичными.2
Какое утверждение является строгим математическим определением позиционной системы счисления?
Правильный ответ:
Это система, в которой количественный эквивалент (реальное значение) цифры строго зависит от её положения (места, позиции, разряда) в записи числа.Пояснение:
Фундаментальное отличие позиционной системы от непозиционной кроется в слове «позиция». В числе 555 три одинаковых графических символа означают разные математические величины: пять сотен, пять десятков и пять единиц. Ценность символа жестко привязана к тому месту (разряду), которое он занимает в строке.3
Что определяет характеристика, которая в информатике называется «основанием» позиционной системы счисления?
Правильный ответ:
Основание определяет количество уникальных знаков в алфавите системы, а его степени определяют «веса» позиций (разрядов) в записи числа.Пояснение:
Основание — это фундамент позиционной системы. Если основание равно 10, в алфавите будет 10 цифр (от 0 до 9), а вес каждого следующего левого разряда будет увеличиваться ровно в 10 раз (единицы, десятки, сотни). Если основание равно 2, алфавит состоит из двух цифр, а вес разрядов увеличивается в 2 раза.4
Математики какой страны в V-VII веках нашей эры совершили важнейший прорыв, завершив формирование современной позиционной системы путем введения особого обозначения для пропуска разрядов?
Правильный ответ:
Индийские математики.Пояснение:
Хотя позиционные идеи зарождались еще в Вавилоне, именно индийские ученые в V-VII веках довели архитектуру системы до совершенства. Их величайшим вкладом в мировую науку стало изобретение нуля — специального символа, обозначающего пустую позицию. Без нуля невозможно было бы отличить число 15 от 105 или 150.5
Почему позиционная система счисления, которой мы пользуемся сегодня во всем мире, исторически получила название «арабская»?
Правильный ответ:
Потому что арабы первыми переняли эту нумерацию у индийцев, по достоинству оценили её удобство и именно через них эта система в XII веке проникла в Европу.Пояснение:
Название «арабские цифры» исторически не совсем корректно, так как истинными создателями системы были индийцы. Однако европейцы в XII веке познакомились с этой передовой нумерацией именно через труды арабских математиков, которые привезли эти знания с Востока, перевели их и адаптировали для своих нужд.6
Какое требование всегда предъявляется к алфавиту любой позиционной системы счисления с произвольным основанием «q»?
Правильный ответ:
Алфавит должен состоять из чисел от 0 до q-1, и самой младшей цифрой в нем всегда является 0.Пояснение:
Это строгий математический закон. Если основание системы равно 8 (восьмеричная система), её алфавит будет состоять из 8 символов. Самый младший символ всегда 0, поэтому максимальная цифра в алфавите будет 7 (от 0 до 7 = ровно 8 символов). Цифры, равной или большей самого основания, в алфавите быть не может.7
Как в информатике называется подробная форма математического представления, при которой число записано в виде суммы произведений его цифр на основание системы в соответствующих степенях?
Правильный ответ:
Развёрнутая форма записи числа.Пояснение:
Развернутая форма наглядно демонстрирует внутреннюю архитектуру позиционного числа. Например, запись 4×10³ + 3×10² + 5×10¹ + 1×10⁰ показывает, что число состоит из суммы четырех элементов, где каждая цифра умножена на «вес» своей позиции (степень основания). Свернутая форма — это наша привычная запись (4351).8
Какой универсальный алгоритм необходимо применить, чтобы перевести число из позиционной системы счисления с неизвестным основанием (например, 5) в привычную для нас десятичную систему?
Правильный ответ:
Записать исходное число в развёрнутой форме (сумма произведений цифр на степени исходного основания) и вычислить значение получившегося арифметического выражения.Пояснение:
Развернутая форма записи — это универсальный математический мост между любой позиционной системой и десятичной. Расписав число (например, 142 в пятеричной) как 1×5² + 4×5¹ + 2×5⁰, мы переводим абстрактные позиции в конкретные числа. Выполнив обычные сложения и умножения (25 + 20 + 2 = 47), мы получаем искомое значение в десятичной системе.9
В десятичном числе 888 все три цифры графически выглядят абсолютно одинаково. Во сколько раз математическое значение (количественный эквивалент) левой восьмерки больше, чем значение соседней восьмерки, стоящей справа от неё?
Правильный ответ:
Ровно в 10 раз больше.Пояснение:
В позиционной системе счисления с основанием 10 «вес» каждой позиции при сдвиге влево на один шаг увеличивается ровно в 10 раз (в соответствии со степенью основания). Поэтому восьмерка в разряде десятков (80) ровно в 10 раз больше восьмерки в разряде единиц (8), а восьмерка в разряде сотен (800) в 10 раз больше десятков.10
Какое арифметическое правило срабатывает в десятичной позиционной системе, если в результате сложения двух цифр в одном разряде получается число, которое больше или равно основанию (10)?