Тест по математике: Десятичные дроби (5 класс)

Пояснение:

При чтении десятичных дробей сначала называют целую часть числа (число слева от запятой) с добавлением слова «целых», а затем дробную часть (число справа от запятой) с добавлением названия разряда последней цифры. В числе 5,72 целая часть равна 5, а дробная часть — 72. Поскольку последняя цифра 2 стоит в разряде сотых (второй знак после запятой), число читается как пять целых семьдесят две сотых. Такое чтение точно передаёт значение числа и показывает, какая часть единицы в нём содержится.

Пояснение:

Чтобы записать число «двенадцать целых пять тысячных» в виде десятичной дроби, нужно правильно расположить цифры. Целая часть — 12, поэтому слева от запятой пишем 12. Дробная часть — пять тысячных, что означает 5 в разряде тысячных (третий знак после запятой). Поскольку в разрядах десятых и сотых нет значащих цифр, ставим там нули. Получаем запись 12,005. Важно понимать, что название тысячных означает третий разряд после запятой, и нужно учесть все промежуточные разряды, даже если в них стоят нули.

Пояснение:

При сравнении десятичных дробей сначала сравниваются их целые части. Если они равны, то переходят к сравнению первых цифр после запятой, затем вторых и т.д. В числах 3,42 и 3,402 целые части равны (3). Первые цифры после запятой тоже равны (4). Вторые цифры разные: 2 и 0. Поскольку 2 > 0, то 3,42 > 3,402. Можно также записать 3,42 = 3,420 и сравнить 3,420 и 3,402. При такой записи видно, что в третьем разряде после запятой 0 > 2, поэтому 3,420 > 3,402, то есть 3,42 > 3,402.

Пояснение:

При сложении десятичных дробей нужно записать их друг под другом так, чтобы запятые были на одной вертикальной линии, и выполнить сложение как с обычными числами, сохраняя положение запятой. Запишем: 3,70 (дополним нулем для удобства) и 2,85. Складываем: единицы 3 + 2 = 5, десятые 7 + 8 = 15 (записываем 5, 1 переносим), сотые 0 + 5 + 1 (перенесенная) = 6. Получаем 5,65. Но это ошибка в вычислении! Правильно: 3,7 + 2,85 = 3,70 + 2,85 = 6,55. При сложении 7 + 8 получаем 15 десятых, что равно 1 целой и 5 десятым. Записываем 5 в разряд десятых и переносим 1 в разряд единиц.

Пояснение:

При умножении десятичных дробей нужно выполнить умножение как с обычными числами, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В первом множителе 0,3 один знак после запятой, во втором множителе 0,4 также один знак. Значит, в ответе должно быть 1 + 1 = 2 знака после запятой. Перемножаем числа как обычные: 3 · 4 = 12. С учетом положения запятой получаем 0,12. Можно проверить: 0,3 = 3/10, 0,4 = 4/10, и (3/10) · (4/10) = 12/100 = 0,12.

Пояснение:

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. В данном случае делим 3 на 4: 3 : 4 = 0,75. Рассмотрим подробнее: 3 = 0 · 4 + 3, записываем 0 и остаток 3. Добавляем запятую и ноль: 3,0. Делим 30 на 4, получаем 7 и остаток 2. Добавляем еще ноль: 20. Делим 20 на 4, получаем 5 и остаток 0. Поскольку остаток равен нулю, деление закончено. Таким образом, 3/4 = 0,75. Можно проверить: 0,75 = 75/100 = 3/4 (после сокращения).

Пояснение:

Для преобразования десятичной дроби в обыкновенную записываем число без запятой в числителе, а в знаменателе ставим единицу с нулями по количеству цифр после запятой. В числе 0,125 после запятой 3 цифры, поэтому 0,125 = 125/1000. Теперь сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 125: 125/1000 = 1/8. Можно проверить: 1/8 = 1/8 · 125/125 = 125/1000 = 0,125. Таким образом, десятичная дробь 0,125 в виде обыкновенной несократимой дроби записывается как 1/8.

Пояснение:

При вычитании десятичных дробей нужно записать их друг под другом так, чтобы запятые были на одной вертикальной линии, и выполнить вычитание как с обычными числами, сохраняя положение запятой. Запишем: 6,00 и 2,75. Вычитаем: единицы 6 − 2 = 4, десятые 0 − 7 невозможно, поэтому занимаем 1 из разряда единиц, получаем 3 единицы и 10 десятых, 10 − 7 = 3 десятых, сотые 0 − 5 невозможно, поэтому занимаем 1 десятую, получаем 2 десятых и 10 сотых, 10 − 5 = 5 сотых. Итоговый результат: 3,25.

Пояснение:

Перенос запятой в десятичной дроби изменяет значение числа в соответствии с позиционным принципом записи. При переносе запятой на один знак вправо значение числа увеличивается в 10 раз, так как каждая цифра переходит в разряд, который в 10 раз больше исходного. При переносе на два знака вправо число увеличивается в 10 · 10 = 100 раз. Например, если в числе 4,56 перенести запятую на 2 знака вправо, получим 456, то есть 4,56 · 100 = 456. Этот принцип связан с тем, что в десятичной системе каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего.

Пояснение:

При делении десятичных дробей можно преобразовать задачу так, чтобы делитель стал целым числом. Для этого умножаем и делимое, и делитель на одно и то же число (удобно на степень 10), чтобы избавиться от запятой в делителе. В нашем случае, 3,6 : 0,9 = (3,6 · 10) : (0,9 · 10) = 36 : 9 = 4. Можно решить и по-другому: выполнить деление «уголком», не обращая внимания на запятые, а затем в частном поставить запятую так, чтобы количество знаков после неё равнялось разности между количеством знаков после запятой в делимом и делителе. В данном случае это 1 − 1 = 0, то есть частное — целое число 4.

Пояснение:

Для сравнения десятичных дробей сначала сравниваем их целые части, а если они равны, то последовательно сравниваем цифры после запятой. У всех трех чисел целая часть равна 0. Сравним первые цифры после запятой: в 0,8 это 8, в 0,08 и 0,081 — 0. Поскольку 0 < 8, то 0,08 и 0,081 меньше, чем 0,8. Теперь сравним 0,08 и 0,081. У них совпадают первые две цифры (0,08), но в числе 0,081 есть еще цифра 1 в третьем разряде, поэтому 0,08 < 0,081. Таким образом, в порядке возрастания числа располагаются так: 0,08; 0,081; 0,8.

Пояснение:

При умножении десятичных дробей нужно выполнить умножение как с обычными числами, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В первом множителе 1,5 один знак после запятой, во втором множителе 0,2 также один знак. Значит, в ответе должно быть 1 + 1 = 2 знака после запятой. Перемножаем числа как обычные: 15 · 2 = 30. С учетом положения запятой получаем 0,30 = 0,3. Можно проверить: 1,5 = 3/2, 0,2 = 1/5, и (3/2) · (1/5) = 3/10 = 0,3.

Пояснение:

Для представления обыкновенной дроби в виде десятичной нужно разделить числитель на знаменатель. В данном случае делим 7 на 20: 7 : 20 = 0,35. Подробнее: 7 = 0 · 20 + 7, записываем 0 и остаток 7. Добавляем запятую и ноль: 7,0. Делим 70 на 20, получаем 3 и остаток 10. Добавляем еще ноль: 100. Делим 100 на 20, получаем 5 и остаток 0. Поскольку остаток равен нулю, деление закончено. Таким образом, 7/20 = 0,35. Можно проверить: 0,35 = 35/100 = 7/20 (после сокращения на 5).

Пояснение:

Для преобразования десятичной дроби в обыкновенную записываем число без запятой в числителе, а в знаменателе ставим единицу с нулями по количеству цифр после запятой. В числе 0,45 после запятой 2 цифры, поэтому 0,45 = 45/100. Затем сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5: 45/100 = 9/20. Можно проверить: 9/20 = 9/20 · 5/5 = 45/100 = 0,45. Таким образом, десятичная дробь 0,45 в виде обыкновенной несократимой дроби записывается как 9/20.

Пояснение:

При вычислении значения числового выражения нужно соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление по порядку слева направо, и только потом сложение и вычитание также слева направо. В выражении 2,7 + 1,6 · 0,5 сначала выполняем умножение: 1,6 · 0,5 = 0,8. Затем сложение: 2,7 + 0,8 = 3,5. Важно помнить о порядке действий, иначе можно получить неверный результат. Если бы мы сначала выполнили сложение, то получили бы 2,7 + 1,6 = 4,3, а затем 4,3 · 0,5 = 2,15, что неверно.

Пояснение:

Перенос запятой в десятичной дроби изменяет значение числа в соответствии с позиционным принципом записи. При переносе запятой на один знак влево значение числа уменьшается в 10 раз, так как каждая цифра переходит в разряд, который в 10 раз меньше исходного. Например, если в числе 45,67 перенести запятую на один знак влево, получим 4,567, то есть 45,67 : 10 = 4,567. Это правило основано на том, что в десятичной системе каждый предыдущий разряд в 10 раз меньше следующего. Понимание этого принципа позволяет быстро умножать и делить десятичные дроби на степени числа 10.

Пояснение:

При сложении десятичных дробей нужно записать их друг под другом так, чтобы запятые были на одной вертикальной линии, и выполнить сложение как с обычными числами, сохраняя положение запятой. Запишем: 0,25 и 0,40 (дополним нулем для удобства). Складываем: десятые 2 + 4 = 6, сотые 5 + 0 = 5. Получаем 0,65. Можно также сложить дроби, представив их как сумму разрядных слагаемых: 0,25 = 2/10 + 5/100, 0,4 = 4/10, и (2/10 + 5/100) + 4/10 = (2+4)/10 + 5/100 = 6/10 + 5/100 = 0,65.

Пояснение:

Обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если её знаменатель после сокращения можно представить как произведение степеней чисел 2 и 5. Это связано с тем, что в десятичной системе счисления основание равно 10 = 2 · 5, и только дроби со знаменателем, делящимся на эти простые множители, могут быть записаны конечной десятичной дробью. Дроби 3/8 = 0,375, 7/20 = 0,35 и 1/5 = 0,2 имеют в знаменателях только множители 2 и 5. А вот дробь 2/3 имеет в знаменателе простое число 3, поэтому она преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь 2/3 = 0,(6).

Пояснение:

При вычислении значения числового выражения сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление. В выражении 0,2 · (6,8 − 1,8) сначала находим значение в скобках: 6,8 − 1,8 = 5. Затем выполняем умножение: 0,2 · 5 = 1. При умножении десятичной дроби на натуральное число можно умножить как обычные числа, а затем в произведении поставить запятую так, чтобы отделить столько знаков справа, сколько их было после запятой в десятичной дроби: 2 · 5 = 10, с учетом запятой получаем 1,0 = 1.

Пояснение:

При сложении десятичных дробей запятая в результате остается на том же месте, что и в слагаемых. Это происходит потому, что при сложении складываются соответствующие разряды чисел: единицы с единицами, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д. Поэтому позиция запятой, отделяющей целую часть от дробной, сохраняется. Например, при сложении 3,45 + 2,7 = 3,45 + 2,70 = 6,15 запятая находится на том же месте — между разрядом единиц и разрядом десятых. В отличие от сложения, при умножении или делении десятичных дробей положение запятой в результате может измениться в зависимости от количества знаков после запятой в исходных числах.