Тест по математике: Понятие десятичной дроби (5 класс)

Пояснение:

Запятая в десятичной дроби играет важную роль — она отделяет целую часть числа от дробной. Цифры, стоящие слева от запятой, образуют целую часть, а цифры справа от запятой — дробную часть. Например, в числе 5,73 целая часть — 5, дробная часть — 73 (семь десятых и три сотых). Благодаря запятой мы можем однозначно определить, какое значение имеет каждая цифра в числе. Именно положение цифры относительно запятой определяет её разряд и, соответственно, вклад в значение всего числа.

Пояснение:

При чтении десятичных дробей сначала называют целую часть (число, стоящее слева от запятой) с добавлением слова «целых», а затем дробную часть, называя её как обычное число с добавлением названия последнего разряда дробной части. В числе 3,7 целая часть — 3, а дробная часть — 7, причем 7 стоит в разряде десятых (первый разряд после запятой). Поэтому число 3,7 читается как три целых семь десятых. Именно такое чтение подчеркивает позиционный характер десятичной записи и позволяет точно понять значение числа.

Пояснение:

Чтобы записать число «восемь целых две сотых» в виде десятичной дроби, нужно правильно расположить цифры относительно запятой. Целая часть — 8, поэтому слева от запятой пишем 8. Дробная часть — две сотых, это означает, что число 2 должно стоять в разряде сотых, то есть на втором месте после запятой. Поскольку в разряде десятых нет значащей цифры, ставим там 0. Получаем запись 8,02. Важно понимать, что в десятичной дроби положение цифры определяет её вклад в значение числа, поэтому нули между запятой и значащими цифрами опускать нельзя.

Пояснение:

Десятичная дробь — это способ записи числа, при котором целая часть отделяется от дробной запятой, а дробная часть записывается как последовательность цифр, каждая из которых представляет определённый разряд (десятые, сотые, тысячные и т.д.). Числа 5,21; 0,356 и 18,4 записаны в виде десятичных дробей, так как содержат целую и дробную части, разделенные запятой. Число 2/5 записано в виде обыкновенной дроби, где числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой. Это не является десятичной дробью, так как не использует позиционную запись с запятой.

Пояснение:

Чтобы определить количество знаков после запятой в десятичной дроби, нужно посчитать количество цифр, стоящих справа от запятой. В числе 7,034 запятая отделяет целую часть 7 от дробной части 034. В дробной части стоят три цифры: 0, 3 и 4. Это означает, что в десятичной дроби 7,034 имеется 3 знака после запятой. Количество знаков после запятой важно для определения разряда последней цифры: в данном случае 4 стоит в разряде тысячных (третий разряд после запятой).

Пояснение:

При чтении десятичных дробей сначала называют целую часть с добавлением слова «целых», а затем дробную часть как целое число с добавлением названия разряда последней цифры дробной части. В числе 0,025 целая часть — 0, а дробная часть — 025, что соответствует двадцати пяти тысячным (потому что цифра 5 стоит в разряде тысячных, третьем после запятой). Поэтому число 0,025 читается как ноль целых двадцать пять тысячных. При чтении десятичных дробей важно правильно определять разряд последней цифры, чтобы точно передать значение числа.

Пояснение:

Для определения разряда цифры в десятичной дроби нужно считать её положение относительно запятой. Цифры справа от запятой образуют дробную часть, где первая позиция — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные и т.д. В числе 12,385 цифра 8 находится на третьей позиции после запятой (3 — десятые, 8 — сотые, 5 — тысячные), следовательно, она занимает разряд сотых. Это означает, что цифра 8 вносит вклад в значение числа равный 8/100 = 0,08. Правильное определение разряда позволяет понимать точное значение каждой цифры в десятичной дроби.

Пояснение:

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую на один знак вправо. Это следствие позиционного принципа записи чисел: при умножении на 10 каждая цифра переходит в разряд, который в 10 раз больше исходного. Например, если умножить 2,56 на 10, получим 25,6. Здесь цифра 2 из разряда единиц перешла в разряд десятков, цифра 5 из разряда десятых перешла в разряд единиц, а цифра 6 из разряда сотых — в разряд десятых. Такой подход основан на свойствах десятичной системы счисления и значительно упрощает вычисления с десятичными дробями.

Пояснение:

Для записи числа «сорок две целые пять сотых» в виде десятичной дроби нужно правильно отразить как целую, так и дробную части. Целая часть — сорок две, значит слева от запятой пишем 42. Дробная часть — пять сотых, что означает 5 в разряде сотых (вторая позиция после запятой). Поскольку в разряде десятых нет значащей цифры, там ставим 0. Получаем запись 42,05. Важно понимать, что в десятичной дроби нули между запятой и значащими цифрами существенны, так как указывают разряд этих цифр. Например, 42,05 не равно 42,5, потому что 42,05 = 42 + 5/100, а 42,5 = 42 + 5/10.

Пояснение:

Чтобы найти произведение десятичных дробей, нужно умножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятую, а затем в результате поставить запятую так, чтобы количество знаков после неё равнялось сумме количества знаков после запятой в множителях. В первом множителе 0,1 один знак после запятой, во втором множителе 0,01 два знака после запятой. Значит, в ответе должно быть 1 + 2 = 3 знака после запятой. При умножении получаем 1 · 1 = 1, а с учетом правила расстановки запятой — 0,001. Это можно проверить: 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100, и 1/10 · 1/100 = 1/1000 = 0,001.

Пояснение:

Цифры в десятичной дроби имеют различные значения в зависимости от их положения относительно запятой. В записи 5,146 цифра 1 стоит в разряде десятых (первый после запятой), цифра 4 — в разряде сотых (второй после запятой), а цифра 6 — в разряде тысячных (третий после запятой). Таким образом, цифра 4 обозначает четыре сотых или 4/100 = 0,04. Это иллюстрирует важность позиционного принципа в десятичной системе: значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её положением в записи числа.

Пояснение:

Десятичная дробь может быть представлена как сумма её целой и дробной частей. Целая часть — это число слева от запятой, а дробная часть — это число справа от запятой, записанное с нулём слева от запятой. В десятичной дроби 7,3 целая часть равна 7, а дробная часть — 0,3 (три десятых). Таким образом, 7,3 = 7 + 0,3. Такое представление помогает лучше понять структуру десятичной дроби и часто используется при выполнении различных математических операций, например, при округлении или вычислениях с использованием свойств десятичных дробей.

Пояснение:

Чтобы уменьшить десятичную дробь в 1000 раз, нужно перенести запятую на три знака влево. Это правило основано на позиционном принципе десятичной системы счисления: при делении на 1000 каждая цифра переходит в разряд, который в 1000 раз меньше исходного. Например, если уменьшить 456,789 в 1000 раз, получим 0,456789. Если при переносе запятой влево не хватает цифр, нужно дописать нули слева. Например, 2,5 : 1000 = 0,0025. Данное правило значительно упрощает вычисления с десятичными дробями, избавляя от необходимости выполнять деление столбиком.

Пояснение:

При чтении десятичных дробей сначала называют целую часть с добавлением слова «целых», а затем дробную часть как целое число с добавлением названия разряда последней цифры. В числе 106,007 целая часть — 106 (сто шесть), а дробная часть — 007, что соответствует семи тысячным (так как последняя цифра 7 стоит в третьем разряде после запятой — разряде тысячных). Нули в дробной части не опускаются при чтении, они влияют на название разряда последней значащей цифры. Поэтому число 106,007 читается как сто шесть целых семь тысячных.

Пояснение:

В десятичных дробях разряды после запятой называются в соответствии с их положением: первый — десятые, второй — сотые, третий — тысячные и т.д. В числе 24,618 разряд десятых занимает цифра 6, разряд сотых — цифра 1, разряд тысячных — цифра 8. Таким образом, в разряде сотых (второй после запятой) стоит цифра 1. Это означает, что в разложении числа по разрядам присутствует слагаемое 1/100 = 0,01. Правильное понимание позиционной записи числа позволяет точно определять значение каждой цифры в десятичной дроби.

Пояснение:

При умножении десятичной дроби на 10 запятая переносится на один знак вправо. Чтобы в результате получилось натуральное число (целое положительное число без дробной части), достаточно, чтобы после переноса запятой вправо на один знак все цифры оказались слева от запятой. Это возможно только в том случае, если исходная дробь имеет вид a,b, где в дробной части стоит только одна цифра. Например, 5,7 · 10 = 57, а 2,34 · 10 = 23,4 (не натуральное число, так как есть дробная часть). Данная закономерность связана с тем, как работает позиционная запись чисел в десятичной системе.

Пояснение:

В десятичной системе счисления каждый следующий разряд вправо от запятой соответствует делению на 10. Первый разряд после запятой соответствует делению на 10^1 = 10, поэтому называется разрядом десятых. Например, в числе 5,743 цифра 7 стоит в разряде десятых и означает 7/10 = 0,7. За ним следуют разряд сотых (4), что соответствует 4/100 = 0,04, и разряд тысячных (3), что соответствует 3/1000 = 0,003. Название разрядов отражает их значение в позиционной записи числа и помогает правильно читать и понимать десятичные дроби.

Пояснение:

Чтобы определить, какая обыкновенная дробь соответствует десятичной дроби 0,5, нужно представить 0,5 как дробь со знаменателем 10 (так как одна цифра после запятой): 0,5 = 5/10. Затем эту дробь следует сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5: 5/10 = 1/2. Таким образом, десятичная дробь 0,5 соответствует обыкновенной дроби 1/2. Эта связь между десятичными и обыкновенными дробями важна для понимания свойств десятичных дробей и выполнения операций с ними.

Пояснение:

Обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если её знаменатель (после сокращения) не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5. Это связано с тем, что в десятичной системе счисления разряды после запятой соответствуют делению на степени 10 = 2^1 · 5^1. Дроби 1/5, 3/8 и 17/20 можно представить в виде конечных десятичных дробей: 1/5 = 0,2; 3/8 = 0,375; 17/20 = 0,85. А вот дробь 1/3 нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как 3 не делится ни на 2, ни на 5. При делении 1 на 3 получается бесконечная периодическая десятичная дробь 0,(3).

Пояснение:

Чтобы записать число «72 сотых» в виде десятичной дроби, нужно понять, что речь идет о дробном числе без целой части. Сотые указывают на то, что число должно быть разделено на 100, то есть представлено как 72/100. В десятичной записи это соответствует 0,72, где цифра 7 стоит в разряде десятых, а цифра 2 — в разряде сотых. Важно отметить, что запись начинается с 0 перед запятой, так как целая часть отсутствует. Если бы речь шла о 72 тысячных, то запись была бы 0,072. Правильное понимание разрядов позволяет корректно записывать и читать десятичные дроби.