Тест по математике: Проценты (5 класс)

Пояснение:

1% (один процент) — это одна сотая часть целого. Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает «за сто» или «со ста». Таким образом, 1% равен 1/100 или 0,01 в десятичной записи. Например, если взять 1% от 300, то это будет 300 × 0,01 = 3. Понятие процента было введено для удобства расчётов в финансовой сфере, но сейчас широко используется во многих областях. Проценты позволяют сравнивать части с целым и разные части между собой, что делает их важным инструментом в математике и повседневной жизни.

Пояснение:

Чтобы записать проценты в виде десятичной дроби, нужно разделить число процентов на 100. В данном случае, 50% = 50/100 = 0,5. Это можно проверить обратным действием: 0,5 × 100% = 50%. Понимание связи между процентами и десятичными дробями очень важно для решения различных задач. Например, при расчёте скидки или наценки, нахождении процентов от числа и т.д. Запись 0,5% означала бы 0,5/100 = 0,005, что гораздо меньше, чем 50%. Запись 5,0 означает просто число пять, а 0,05 = 5%, что в 10 раз меньше, чем 50%.

Пояснение:

Чтобы выразить дробь в процентах, нужно умножить её на 100%. Для дроби 3/4 имеем: 3/4 × 100% = 75%. Это можно проверить, разделив числитель на знаменатель и умножив на 100%: 3 ÷ 4 × 100% = 0,75 × 100% = 75%. Таким образом, 3/4 составляет 75% от целого. Можно также рассуждать так: целое — это 100%, одна четвертая часть — это 25%, а три четверти — это 3 × 25% = 75%. Часто в задачах требуется переводить дроби в проценты и наоборот, поэтому важно уметь выполнять такие преобразования быстро и без ошибок.

Пояснение:

Чтобы найти процент от числа, нужно умножить это число на процент, выраженный в виде десятичной дроби. 20% = 20/100 = 0,2. Таким образом, 20% от 150 равно 150 × 0,2 = 30. Можно также решить эту задачу, используя пропорцию: если 100% соответствует числу 150, то 20% будет соответствовать x. Получаем пропорцию: 100% : 150 = 20% : x, откуда x = (150 × 20%) ÷ 100% = 30. Ещё один способ решения: найти 1% от числа, а затем умножить на нужное количество процентов. 1% от 150 = 150 ÷ 100 = 1,5, тогда 20% = 20 × 1,5 = 30.

Пояснение:

Чтобы найти 25% от 80, нужно умножить 80 на 0,25: 80 × 0,25 = 20. Можно также решить эту задачу, используя понятие дроби: 25% = 1/4, поэтому 25% от 80 — это одна четвертая часть от 80, то есть 80 ÷ 4 = 20. Ещё один способ: найти 1% от числа, а затем умножить на нужное количество процентов. 1% от 80 = 80 ÷ 100 = 0,8, тогда 25% = 25 × 0,8 = 20. Таким образом, 25% от 80 равно 20. Понимание того, что 25% — это 1/4 часть, помогает быстро решать такие задачи в уме без использования калькулятора.

Пояснение:

Чтобы записать десятичную дробь в процентах, нужно умножить её на 100%. Для числа 0,35 имеем: 0,35 × 100% = 35%. Этот результат можно проверить обратным действием: 35% = 35/100 = 0,35. Запись в процентах часто удобнее для восприятия и сравнения чисел, особенно в экономике, статистике и повседневной жизни. Например, выражение «доход вырос на 0,35» менее понятно, чем «доход вырос на 35%». Важно помнить, что при переводе десятичной дроби в проценты число увеличивается в 100 раз, а при обратном переводе — уменьшается в 100 раз.

Пояснение:

Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на второе и умножить на 100%. В данном случае, 40 составляет (40 ÷ 160) × 100% = 0,25 × 100% = 25% от 160. Можно проверить: 25% от 160 = 160 × 0,25 = 40. Умение находить процентное отношение одного числа к другому важно в различных областях: при анализе данных, в финансовых расчётах, при оценке изменений и т.д. В данной задаче 40 — это четверть от 160, то есть 25%. Это не 40% (что было бы 64 от 160) и не 4% (что было бы 6,4 от 160).

Пояснение:

Чтобы найти процентное изменение величины, нужно разделить абсолютное изменение на начальное значение и умножить на 100%. В данном случае, абсолютное изменение цены составляет 250 - 200 = 50 рублей. Процентное повышение вычисляется как (50 ÷ 200) × 100% = 0,25 × 100% = 25%. Можно проверить: если к 200 рублям добавить 25%, получим 200 + 200 × 0,25 = 200 + 50 = 250 рублей. Важно помнить, что процентное изменение всегда вычисляется относительно начального значения, а не конечного. Такие расчёты часто применяются при анализе инфляции, изменения цен, доходов и других экономических показателей.

Пояснение:

Если число уменьшили на 15%, то полученное число составляет 85% от исходного. Пусть исходное число — x, тогда после уменьшения имеем 0,85x. Чтобы вернуться к исходному числу, нужно найти такой процент p, при котором 0,85x × (1 + p/100) = x. Отсюда (1 + p/100) = 1/0,85 ≈ 1,1765, то есть p ≈ 17,65%. Можно проверить: если число 85 увеличить на 17,65%, получим 85 × 1,1765 ≈ 100. Важно понимать, что проценты увеличения и уменьшения не являются аддитивными. Уменьшение на p% и последующее увеличение на те же p% не возвращает к исходному числу. Это связано с тем, что процентные изменения вычисляются относительно текущего значения числа.

Пояснение:

Если 40% учеников — девочки, то девочек в классе: 30 × 0,4 = 12. Тогда количество мальчиков равно 30 - 12 = 18. Можно также рассуждать иначе: если девочек 40%, то мальчиков 100% - 40% = 60%, а значит, их количество составляет 30 × 0,6 = 18. В данной задаче используется понятие дополнения до 100%: если какая-то часть составляет p%, то оставшаяся часть составляет (100 - p)%. Такого рода рассуждения часто применяются в задачах на проценты, особенно когда требуется найти соотношения между различными группами в общей совокупности.

Пояснение:

Если цена товара снизилась на 25%, значит, новая цена составляет 100% - 25% = 75% от первоначальной. Вычислим: 400 × 0,75 = 300 рублей. Это можно также получить, вычитая из первоначальной цены снижение: 400 - 400 × 0,25 = 400 - 100 = 300 рублей. Задачи на изменение цены (наценку или скидку) часто встречаются в повседневной жизни. Важно уметь быстро оценивать новую цену в уме, особенно в ситуациях, когда скидка составляет 10%, 25%, 50% или другие простые доли. Например, снижение цены на 25% означает, что новая цена составляет 3/4 от первоначальной, а снижение на 50% означает, что новая цена составляет 1/2 от первоначальной.

Пояснение:

Пусть x — искомое число. По условию, 35% от x равны 70, то есть 0,35x = 70. Отсюда x = 70 ÷ 0,35 = 200. Можно также решить эту задачу с помощью пропорции: если 35% от числа равны 70, то 100% составят x, откуда 35% : 70 = 100% : x, и x = (70 × 100%) ÷ 35% = 200. Ещё один способ решения: 70 соответствует 35%, значит, 1% соответствует 70 ÷ 35 = 2, а 100% соответствуют 2 × 100 = 200. Такого рода задачи, где требуется найти число по заданному проценту от него, встречаются в различных контекстах, от финансовых расчётов до анализа данных.

Пояснение:

Чтобы выразить дробь 3/8 в процентах, нужно умножить её на 100%: 3/8 × 100% = 37,5%. Можно также разделить числитель на знаменатель и умножить результат на 100%: 3 ÷ 8 = 0,375, и 0,375 × 100% = 37,5%. Ещё один способ решения — представить дробь в виде суммы долей: 3/8 = 1/4 + 1/8 = 25% + 12,5% = 37,5%. Умение быстро переводить дроби в проценты и наоборот помогает лучше понимать соотношения между величинами. Например, зная, что 3/8 составляет 37,5%, легко понять, что это немного больше одной трети (33,3%) и существенно меньше половины (50%).

Пояснение:

Чтобы записать проценты в виде десятичной дроби, нужно разделить число процентов на 100. В данном случае, 125% = 125/100 = 1,25. Важно отметить, что проценты больше 100% соответствуют числам больше 1. Например, 200% = 2, а 150% = 1,5. Это означает, что величина превышает 100% от исходной величины. Понимание таких соотношений помогает решать задачи на проценты, особенно связанные с ростом или увеличением каких-либо показателей. Например, выражение «производительность выросла на 125%» означает, что новая производительность составляет 225% от первоначальной, то есть в 2,25 раза больше.

Пояснение:

Если скидка составляет 20%, то покупатель платит 80% от первоначальной цены. Вычислим: 800 × 0,8 = 640 рублей. Можно также найти сумму скидки и вычесть её из первоначальной цены: 800 × 0,2 = 160 рублей — сумма скидки, 800 - 160 = 640 рублей — цена со скидкой. Задачи на скидки часто встречаются в повседневной жизни, поэтому важно уметь быстро вычислять итоговую цену. Для скидки в 20% удобно сначала найти 10% (разделить на 10), а затем умножить на 2. Например, 10% от 800 — это 80, следовательно, 20% — это 160, а цена со скидкой — 640 рублей.

Пояснение:

Доход по вкладу вычисляется как процент от суммы вклада. В данном случае, доход составляет 6% от 5000 рублей: 5000 × 0,06 = 300 рублей. После начисления процентов общая сумма на счёте составит 5000 + 300 = 5300 рублей. Важно отличать доход (проценты) от итоговой суммы с учётом процентов. Для простых процентов, которые начисляются на первоначальную сумму, доход за n лет составляет n × p%, где p% — годовая процентная ставка. Например, за 2 года доход по данному вкладу составит 2 × 6% = 12% от 5000 рублей, то есть 600 рублей. При расчёте сложных процентов проценты начисляются на растущую сумму, что даёт более высокий доход.

Пояснение:

Чтобы найти 140% от 80, умножим 80 на 1,4: 80 × 1,4 = 112. Можно также решить эту задачу по частям: 100% от 80 — это 80, а 40% от 80 — это 80 × 0,4 = 32. Следовательно, 140% от 80 — это 80 + 32 = 112. Когда процент превышает 100%, результат больше исходного числа. Это часто используется для описания увеличения или роста. Например, если продажи составили 140% от прошлогоднего уровня, это означает, что они выросли на 40%. Умение работать с процентами больше 100% помогает лучше понимать различные статистические и экономические показатели.

Пояснение:

Пусть x — общее количество учеников в классе. По условию, 40% от x равны 14, то есть 0,4x = 14. Отсюда x = 14 ÷ 0,4 = 35. Можно также решить эту задачу, составив пропорцию: если 40% соответствуют 14 ученикам, то 100% соответствуют x ученикам, откуда 40% : 14 = 100% : x, и x = (14 × 100%) ÷ 40% = 35. Ещё один способ решения: 14 учеников соответствуют 40%, значит, 1% соответствует 14 ÷ 40 = 0,35 ученика, а 100% соответствуют 0,35 × 100 = 35 ученикам. Важно уметь находить целое по его части, выраженной в процентах, так как такие задачи часто встречаются в различных контекстах.

Пояснение:

При последовательном изменении цены на p% и затем на q% общее изменение вычисляется по формуле (1 + p/100) × (1 + q/100) - 1, умноженное на 100%. В данном случае, p = 10, q = 20, поэтому общее изменение составляет (1 + 10/100) × (1 + 20/100) - 1 = 1,1 × 1,2 - 1 = 1,32 - 1 = 0,32, или 32%. Можно также решить эту задачу по шагам: если первоначальная цена была x, то после первого повышения она стала 1,1x, а после второго — 1,2 × 1,1x = 1,32x, что соответствует увеличению на 32%. Важно помнить, что при последовательных процентных изменениях нельзя просто складывать проценты, так как каждое следующее изменение вычисляется относительно уже изменённой величины.

Пояснение:

Найдём количество мальчиков: 300 × 0,6 = 180. Тогда количество девочек: 300 - 180 = 120. Разница между количеством мальчиков и девочек: 180 - 120 = 60. Можно также решить эту задачу, исходя из процентного соотношения: если мальчики составляют 60%, то девочки — 40%. Разница составляет 60% - 40% = 20% от общего количества учеников, то есть 300 × 0,2 = 60 учеников. Такие задачи, где требуется найти абсолютную разницу между двумя частями целого, часто встречаются в статистике, демографии и социологии. Умение работать с процентами помогает анализировать и интерпретировать различные данные, представленные в процентном виде.