Тест по математике: Сравнение двух дробей с разными знаменателями (5 класс)

Пояснение:

Основным способом сравнения дробей с разными знаменателями является приведение их к общему знаменателю. Этот метод заключается в том, что обе дроби преобразуются так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей, которое становится общим знаменателем. После приведения к общему знаменателю дроби сравнивают по числителям: больше та дробь, у которой числитель больше. Этот способ универсален и эффективен для сравнения любых дробей с разными знаменателями. Например, чтобы сравнить 2/3 и 3/5, приводим к общему знаменателю 15: 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15. Поскольку 10 > 9, то 2/3 > 3/5.

Пояснение:

Для сравнения дробей 3/5 и 2/7 необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5 и 7 равно 35. Преобразуем дроби: 3/5 = (3×7)/(5×7) = 21/35; 2/7 = (2×5)/(7×5) = 10/35. Теперь сравниваем числители при одинаковом знаменателе: 21 > 10, значит, 21/35 > 10/35, и, следовательно, 3/5 > 2/7. Нельзя сравнивать дроби с разными знаменателями просто по числителям или знаменателям. Также метод вычитания не является стандартным способом сравнения. Приведение к общему знаменателю — это наиболее универсальный и точный метод сравнения дробей с разными знаменателями.

Пояснение:

Для сравнения дробей 4/7 и 5/8 приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 7 и 8 равно 56. Преобразуем дроби: 4/7 = (4×8)/(7×8) = 32/56; 5/8 = (5×7)/(8×7) = 35/56. Теперь сравниваем числители при одинаковом знаменателе: 32 < 35, значит, 32/56 < 35/56, и, следовательно, 4/7 < 5/8. Можно также сравнить эти дроби, переведя их в десятичные: 4/7 ≈ 0,571, а 5/8 = 0,625. Поскольку 0,571 < 0,625, это подтверждает наш вывод: дробь 4/7 меньше, чем дробь 5/8. Эти методы демонстрируют, что для корректного сравнения дробей с разными знаменателями необходимо привести их к единой форме.

Пояснение:

Перекрестное умножение — это альтернативный метод сравнения дробей с разными знаменателями, который не требует приведения к общему знаменателю. В этом методе числитель первой дроби умножают на знаменатель второй, а числитель второй — на знаменатель первой. Затем сравнивают полученные произведения. Например, чтобы сравнить дроби a/b и c/d, вычисляют a×d и c×b. Если a×d > c×b, то a/b > c/d; если a×d < c×b, то a/b < c/d; если a×d = c×b, то a/b = c/d. Это работает, потому что при сравнении a/b и c/d, приведение к общему знаменателю b×d даёт (a×d)/(b×d) и (c×b)/(b×d), и мы сравниваем числители a×d и c×b.

Пояснение:

Для сравнения дробей 5/6 и 3/4 с помощью перекрестного умножения умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 5 × 4 = 20, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 3 × 6 = 18. Сравниваем полученные произведения: 20 > 18. Следовательно, 5/6 > 3/4. Метод перекрестного умножения работает, потому что когда мы приводим дроби 5/6 и 3/4 к общему знаменателю 12, получаем 10/12 и 9/12, и сравниваем числители 10 и 9. Но 10 = 5×2, 9 = 3×3, 12 = 6×2 = 4×3, поэтому сравнение 10 > 9 эквивалентно сравнению 5×4 > 3×6, что и показывает перекрестное умножение. Таким образом, 5/6 больше, чем 3/4.

Пояснение:

Для сравнения дробей 7/9 и 5/6 можно использовать метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 7 × 6 = 42, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 5 × 9 = 45. Сравниваем полученные произведения: 42 < 45. Следовательно, 7/9 < 5/6. Можно также привести дроби к общему знаменателю 18: 7/9 = 14/18, 5/6 = 15/18. Поскольку 14 < 15, то 7/9 < 5/6. Можно сравнить дроби, переведя их в десятичные: 7/9 ≈ 0,778, а 5/6 ≈ 0,833. Поскольку 0,778 < 0,833, это подтверждает наш вывод: дробь 5/6 больше, чем дробь 7/9.

Пояснение:

Для расположения дробей 3/8, 2/5, 5/12 в порядке возрастания приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8, 5 и 12 равно 120. Преобразуем дроби: 3/8 = 45/120, 2/5 = 48/120, 5/12 = 50/120. Теперь сравниваем числители при одинаковом знаменателе: 45 < 48 < 50. Следовательно, 3/8 < 2/5 < 5/12. Однако, это не соответствует указанному ответу. Проверим: 3/8 = 0,375, 2/5 = 0,4, 5/12 ≈ 0,417. Действительно, 0,375 < 0,4 < 0,417, что подтверждает порядок 3/8 < 2/5 < 5/12. Правильный ответ должен быть 3/8, 2/5, 5/12, а не 5/12, 3/8, 2/5.

Пояснение:

Для определения наименьшей дроби из 3/7, 5/11, 7/15 и 4/9 приведем их к общему знаменателю или сравним их десятичные значения. Вычислим десятичные значения: 3/7 ≈ 0,429, 5/11 ≈ 0,455, 7/15 ≈ 0,467, 4/9 ≈ 0,444. Видим, что наименьшее значение имеет дробь 3/7 ≈ 0,429, а не 4/9 ≈ 0,444, как указано в ответе. Приведём к общему знаменателю 3465: 3/7 = 1485/3465, 5/11 = 1575/3465, 7/15 = 1617/3465, 4/9 = 1540/3465. Сравнивая числители, получаем: 1485 < 1540 < 1575 < 1617, то есть 3/7 < 4/9 < 5/11 < 7/15. Таким образом, наименьшая дробь — 3/7, а не 4/9.

Пояснение:

Для сравнения дробей 4/11 и 5/13 можно использовать метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 4 × 13 = 52, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 5 × 11 = 55. Сравниваем полученные произведения: 52 < 55. Следовательно, 4/11 < 5/13. Можно также привести дроби к общему знаменателю 143: 4/11 = 52/143, 5/13 = 55/143. Поскольку 52 < 55, то 4/11 < 5/13. Можно сравнить дроби, переведя их в десятичные: 4/11 ≈ 0,364, а 5/13 ≈ 0,385. Поскольку 0,364 < 0,385, это подтверждает наш вывод: дробь 5/13 больше, чем дробь 4/11.

Пояснение:

Для сравнения дробей 3/5 и 6/10 необходимо заметить, что дробь 6/10 можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который равен 2: 6/10 = (6÷2)/(10÷2) = 3/5. Таким образом, дроби 3/5 и 6/10 представляют одно и то же число, то есть они равны: 3/5 = 6/10. Можно также привести их к общему знаменателю 10: 3/5 = (3×2)/(5×2) = 6/10. Поскольку числители и знаменатели совпадают (оба равны 6/10), дроби равны. Ещё один подход — перевести дроби в десятичные: 3/5 = 0,6 и 6/10 = 0,6, что также подтверждает их равенство.

Пояснение:

Для определения, какая из дробей расположена на числовой прямой правее остальных, нужно найти наибольшую из них. Приведем дроби к десятичному виду: 7/12 ≈ 0,583, 3/5 = 0,6, 8/14 = 4/7 ≈ 0,571, 5/9 ≈ 0,556. Видим, что наибольшее значение имеет дробь 3/5 = 0,6. Можно также сократить дробь 8/14 = 4/7 и привести все дроби к общему знаменателю 180: 7/12 = 105/180, 3/5 = 108/180, 4/7 ≈ 102,86/180, 5/9 = 100/180. Сравнивая числители, получаем: 3/5 > 7/12 > 4/7 > 5/9. Таким образом, дробь 3/5 расположена на числовой прямой правее остальных дробей.

Пояснение:

Для определения, какая из дробей занимает на числовой прямой положение левее всех, нужно найти наименьшую из них. Приведем дроби к десятичному виду: 2/7 ≈ 0,286, 3/10 = 0,3, 4/13 ≈ 0,308, 5/16 = 0,3125. Видим, что наименьшее значение имеет дробь 2/7 ≈ 0,286. Можно также привести все дроби к общему знаменателю 1820: 2/7 ≈ 520/1820, 3/10 = 546/1820, 4/13 ≈ 560/1820, 5/16 = 569/1820. Сравнивая числители, получаем: 2/7 < 3/10 < 4/13 < 5/16. Таким образом, дробь 2/7 занимает на числовой прямой положение левее всех остальных дробей и имеет наименьшее значение.

Пояснение:

Чтобы определить, кто съел больше торта, сравним дроби 2/5 и 3/8. Можно использовать метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 2 × 8 = 16, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 3 × 5 = 15. Сравниваем полученные произведения: 16 > 15. Следовательно, 2/5 > 3/8. Можно также привести дроби к общему знаменателю 40: 2/5 = 16/40, 3/8 = 15/40. Поскольку 16 > 15, то 2/5 > 3/8. Можно сравнить дроби, переведя их в десятичные: 2/5 = 0,4, а 3/8 = 0,375. Поскольку 0,4 > 0,375, это подтверждает наш вывод: Маша съела больше торта, чем Петя.

Пояснение:

Чтобы определить, кто съел больше пирога, нужно сравнить дроби 3/8 (доля первого пирога, съеденная Светой) и 4/12 (доля второго пирога, съеденная Катей). Сначала заметим, что дробь 4/12 можно сократить: 4/12 = (4÷4)/(12÷4) = 1/3. Теперь сравниваем 3/8 и 1/3. Используем метод перекрестного умножения: 3 × 3 = 9, 1 × 8 = 8. Поскольку 9 > 8, то 3/8 > 1/3. Можно также привести дроби к общему знаменателю 24: 3/8 = 9/24, 1/3 = 8/24. Поскольку 9 > 8, то 3/8 > 1/3. Таким образом, Света съела больше пирога, чем Катя, даже несмотря на то, что Катя взяла больше кусков, потому что куски первого пирога крупнее.

Пояснение:

Сравнение только числителей или только знаменателей не является корректным способом сравнения дробей с разными знаменателями. Это можно легко доказать на примерах: дробь 1/2 больше, чем 1/3, хотя числители одинаковы, а дробь 3/4 больше, чем 2/3, хотя 4 > 3. Для правильного сравнения дробей с разными знаменателями необходимо учитывать оба компонента дроби — и числитель, и знаменатель. Корректными методами сравнения являются: приведение к общему знаменателю, перекрестное умножение и перевод дробей в десятичные. Эти методы дают возможность объективно сравнить дроби, независимо от их исходных числителей и знаменателей.

Пояснение:

Верное утверждение: для сравнения дробей с разными знаменателями нужно приводить их к общему знаменателю или использовать другие эквивалентные методы. Утверждение о том, что дробь с большим числителем всегда больше, неверно (например, 9/10 < 1/1, хотя 9 > 1). Утверждение о том, что дробь с большим знаменателем всегда больше, также неверно (например, 1/2 > 1/3, хотя 2 < 3). Последнее утверждение тоже неверно, поскольку дроби с разными знаменателями можно сравнивать, используя соответствующие методы. Приведение к общему знаменателю, перекрестное умножение и перевод в десятичные — все эти методы дают возможность корректно сравнивать дроби с разными знаменателями.

Пояснение:

Для сравнения дробей 11/15 и 7/9 можно использовать метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 11 × 9 = 99, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 7 × 15 = 105. Сравниваем полученные произведения: 99 < 105. Следовательно, 11/15 < 7/9. Можно также привести дроби к общему знаменателю 45: 11/15 = 33/45, 7/9 = 35/45. Поскольку 33 < 35, то 11/15 < 7/9. Можно сравнить дроби, переведя их в десятичные: 11/15 ≈ 0,733, а 7/9 ≈ 0,778. Поскольку 0,733 < 0,778, это подтверждает наш вывод: дробь 11/15 меньше, чем дробь 7/9.

Пояснение:

Для сравнения дробей 5/8 и 7/11 можно использовать метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: 5 × 11 = 55, и числитель второй дроби на знаменатель первой: 7 × 8 = 56. Сравниваем полученные произведения: 55 < 56. Следовательно, 5/8 < 7/11. Можно также привести дроби к общему знаменателю 88: 5/8 = 55/88, 7/11 = 56/88. Поскольку 55 < 56, то 5/8 < 7/11. Можно сравнить дроби, переведя их в десятичные: 5/8 = 0,625, а 7/11 ≈ 0,636. Поскольку 0,625 < 0,636, это подтверждает наш вывод: дробь 5/8 меньше, чем дробь 7/11.

Пояснение:

Для расположения дробей 2/3, 5/8, 3/5 в порядке убывания приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 8 и 5 равно 120. Преобразуем дроби: 2/3 = 80/120, 5/8 = 75/120, 3/5 = 72/120. Теперь сравниваем числители при одинаковом знаменателе: 80 > 75 > 72. Следовательно, порядок убывания: 2/3 > 5/8 > 3/5. Можно также сравнить десятичные значения: 2/3 ≈ 0,667, 5/8 = 0,625, 3/5 = 0,6. Поскольку 0,667 > 0,625 > 0,6, это подтверждает наш вывод: дроби в порядке убывания располагаются так: 2/3, 5/8, 3/5. Однако, в ответе указан порядок 2/3, 3/5, 5/8, что не соответствует правильному результату.

Пояснение:

Наименьшее общее кратное (НОК) используется при приведении дробей к общему знаменателю. Этот способ сравнения дробей заключается в том, что для дробей с разными знаменателями находят наименьшее общее кратное их знаменателей, которое становится общим знаменателем. Затем числители дробей соответствующим образом преобразуются, чтобы сохранить значения дробей. Например, чтобы сравнить дроби 2/3 и 3/5, находят НОК(3, 5) = 15, и приводят дроби к знаменателю 15: 2/3 = (2×5)/(3×5) = 10/15, 3/5 = (3×3)/(5×3) = 9/15. После приведения к общему знаменателю дроби сравнивают по числителям: 10 > 9, значит, 2/3 > 3/5. При других методах сравнения, таких как перекрестное умножение или перевод в десятичные дроби, НОК не используется напрямую.