Математический тест

Пояснение:

Чтобы найти корень из числа, нужно найти такое число, которое при умножении на само себя даёт исходное число. 25 × 25 = 625, поэтому √625 = 25.

Можно также разложить число 625 на простые множители:

625 = 5⁴, и тогда √625 = 5² = 25.

Этот приём полезен при вычислении корней из больших чисел.

Пояснение:

Простое число – это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Число 83 является простым, так как не имеет других делителей кроме 1 и 83.

Числа 51, 57 и 87 – составные:
51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29.

Проверить простоту числа можно делением на все простые числа, не превосходящие квадратного корня из проверяемого числа.

Пояснение:

Пояснение:

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны (свойство ромба) и все углы прямые (свойство прямоугольника). Поэтому любой квадрат является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Обратное неверно: не каждый ромб является квадратом (у ромба не обязательно все углы прямые), и не каждый прямоугольник является квадратом (у прямоугольника не обязательно все стороны равны).

Пояснение:

Для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 используем формулу x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

В нашем случае a = 2, b = -5, c = -3.

Дискриминант D = b² - 4ac = (-5)² - 4 × 2 × (-3) = 25 + 24 = 49.

Тогда x₁ = (5 + 7) / 4 = 3, x₂ = (5 - 7) / 4 = -1/2.

Проверка: 2 × 3² - 5 × 3 - 3 = 2 × 9 - 15 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0.

Пояснение:

При умножении отрицательных чисел знак произведения зависит от количества отрицательных множителей. Если количество отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным. Если количество отрицательных множителей нечётное, то произведение будет отрицательным. В данном случае мы умножаем 5 отрицательных чисел, их количество нечётное, следовательно, произведение будет отрицательным.

Пояснение:

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Найдём НОК(12, 18) с помощью разложения на простые множители:
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3².

НОК – это произведение всех простых множителей с наибольшими показателями: НОК(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

Альтернативный способ:
НОК(a, b) = (a × b) / НОД(a, b), где НОД – наибольший общий делитель.
НОД(12, 18) = 6, отсюда НОК(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 36.

Пояснение:

Сначала найдём значение f(2): f(2) = 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7.

Теперь найдём значение f(f(2)) = f(7): f(7) = 2 × 7 + 3 = 14 + 3 = 17.

Таким образом, f(f(2)) = 17.

Это пример композиции функций, когда результат одной функции становится аргументом для другой функции или для той же самой функции.

Пояснение:

Пояснение:

В многочлене x³ - 6x² + 11x - 6 корнями являются числа 1, 2 и 3, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.

Можно убедиться, разложив многочлен на множители:
x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

При подстановке x = 1, x = 2 или x = 3 значение многочлена обращается в ноль. Корни других многочленов не образуют арифметическую прогрессию.

Пояснение:

Для решения этой комбинаторной задачи используем правило произведения. На первую позицию (сотни) можно поставить любую из 5 цифр.

На вторую позицию (десятки) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр.

На третью позицию (единицы) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр.

Общее количество вариантов: 5 × 4 × 3 = 60. Это соответствует числу размещений A₅³ = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 120/2 = 60.

Пояснение:

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q.

Первые пять членов:
b₁ = 4, b₂ = 4 × 2 = 8, b₃ = 8 × 2 = 16, b₄ = 16 × 2 = 32, b₅ = 32 × 2 = 64.
Сумма:
4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 124.

Можно также использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:
S = b₁(1-qⁿ)/(1-q) при q ≠ 1 или S = b₁(qⁿ-1)/(q-1) при q > 1.
В нашем случае: S = 4(2⁵-1)/(2-1) = 4(32-1)/1 = 4 × 31 = 124.

Пояснение:

Для нахождения количества делителей числа нужно разложить его на простые множители: 36 = 2² × 3².

Чтобы найти все делители, из каждого простого множителя можно брать степени от 0 до максимальной. Для числа 36 это: 2⁰, 2¹, 2²; 3⁰, 3¹, 3².

Количество всех возможных комбинаций:
3 × 3 = 9. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общая формула: если n = p₁ᵏ¹ × p₂ᵏ² × ... × pᵐᵏᵐ, то количество делителей n равно (k₁+1) × (k₂+1) × ... × (kₘ+1).

Пояснение:

Если x = 3 является корнем уравнения x² - 2ax - 3 = 0, то при подстановке: 3² - 2a × 3 - 3 = 0. Упростим: 9 - 6a - 3 = 0, откуда 6a = 6, значит a = 1.

Подставим найденное значение a в исходное уравнение: x² - 2x - 3 = 0.

Разложим на множители: (x - 3)(x + 1) = 0.

Корни уравнения: x = 3 или x = -1.

Таким образом, второй корень равен -1.

Можно также использовать теорему Виета: сумма корней равна -b/a, произведение корней равно c/a, где ax² + bx + c = 0 – общий вид квадратного уравнения.

Пояснение:

Определитель матрицы 2×2 [a b; c d] вычисляется по формуле: a×d - b×c.

Для матрицы [2 4; 3 6]: 2×6 - 4×3 = 12 - 12 = 0. Определитель равен нулю, что означает, что данная матрица вырожденная (необратимая). Это также означает, что её столбцы (или строки) линейно зависимы.

В данном случае второй столбец [4; 6] равен первому столбцу [2; 3], умноженному на 2, что является причиной линейной зависимости.

Пояснение:

Область определения логарифмической функции log₂(y) – это множество значений y, при которых y > 0.

То есть нам нужно найти значения x, при которых 4-x² > 0.

Решим неравенство: 4-x² > 0, x² < 4, -2 < x < 2. Ответ: x ∈ (-2; 2).

Обратите внимание, что концы интервала не входят в область определения, так как при x = -2 или x = 2 выражение 4-x² обращается в ноль, а логарифм нуля не определён.

Пояснение:

Для нахождения sin 2α используем формулу sin 2α = 2 sin α cos α.

Нам известно tg α = 3/4, найдём sin α и cos α.

Так как tg α = sin α / cos α, и sin² α + cos² α = 1, получаем систему: sin α / cos α = 3/4, sin² α + cos² α = 1.

Из первого уравнения:
sin α = (3/4) × cos α.

Подставим во второе:
((3/4) × cos α)² + cos² α = 1, (9/16) × cos² α + cos² α = 1, cos² α × (9/16 + 1) = 1, cos² α × (25/16) = 1, cos² α = 16/25, cos α = 4/5 (берём положительное значение, так как tg α > 0, значит α в I четверти).

Тогда:
sin α = (3/4) × (4/5) = 3/5. Теперь sin 2α = 2 × (3/5) × (4/5) = (2 × 3 × 4) / 25 = 24/25.

Пояснение:

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c биссектриса l прямого угла вычисляется по формуле l = 2ab/(a+b).

В нашем случае a = 5 см, b = 12 см. Подставим в формулу: l = 2 × 5 × 12 / (5 + 12) = 120 / 17 = 60/13 ≈ 4,62 см.

Эту формулу можно вывести, используя свойство биссектрисы (она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам) и теорему Пифагора.

Пояснение:

Решим неравенство |x² - 4| < 5.

Это равносильно -5 < x² - 4 < 5, откуда -1 < x² < 9, то есть 0 < x²

< 9 (так как x² всегда неотрицательно). Следовательно, 0 < |x| < 3, то есть -3 < x < 3. Целочисленные решения этого неравенства: x = -2, -1, 0, 1, 2.

Всего 5 решений. Можно также решить это неравенство, рассмотрев два случая: x² - 4 ≥ 0 и x² - 4 < 0, но в итоге получим тот же ответ.

Пояснение:

Функция f(x) = |x - 1| + |x + 1| может быть упрощена в зависимости от положения x относительно точек -1 и 1.

Для x ≤ -1: f(x) = -(x-1) - (x+1) = -x+1-x-1 = -2x.

Для -1 < x < 1: f(x) = -(x-1) + (x+1) = -x+1+x+1 = 2.

Для x ≥ 1: f(x) = (x-1) + (x+1) = x-1+x+1 = 2x.

Таким образом, график функции состоит из двух лучей: y = -2x при x ≤ -1 и y = 2x при x ≥ 1, соединённых горизонтальным отрезком y = 2 при -1 < x < 1. Это V-образная линия с «плоской» вершиной.