Тест по математике: Нахождение процента от величины и величины по её проценту (5 класс)

Пояснение:

Для нахождения процента от числа нужно умножить это число на десятичную дробь, соответствующую данному проценту. 25% в виде десятичной дроби записывается как 0,25 (25 ÷ 100 = 0,25). Умножаем 120 на 0,25: 120 × 0,25 = 30. Можно решить задачу и другим способом: 25% = 1/4, поэтому 25% от 120 — это четверть от 120, то есть 120 ÷ 4 = 30. Также можно найти сначала 10% от числа: 10% от 120 = 120 × 0,1 = 12, а затем умножить на 2,5, чтобы получить 25%: 12 × 2,5 = 30. Таким образом, 25% от 120 равно 30.

Пояснение:

Для нахождения процента от числа умножаем это число на десятичную дробь, соответствующую данному проценту. 40% = 0,4 (40 ÷ 100 = 0,4). Вычисляем 40% от 250: 250 × 0,4 = 100. Можно решить задачу и другим способом: 40% = 4/10 = 2/5, поэтому 40% от 250 — это две пятых от 250, то есть (250 ÷ 5) × 2 = 50 × 2 = 100. Можно также сначала найти 10% от числа: 10% от 250 = 250 × 0,1 = 25, а затем умножить на 4, чтобы получить 40%: 25 × 4 = 100. Таким образом, 40% от 250 равно 100.

Пояснение:

Чтобы найти количество мальчиков, нужно вычислить 60% от общего количества учеников. 60% от 35 учеников: 35 × 0,6 = 21 ученик. Можно решить задачу и по-другому: 60% = 6/10 = 3/5, поэтому количество мальчиков составляет три пятых от общего числа учеников: (35 ÷ 5) × 3 = 7 × 3 = 21. Такой тип задач часто встречается, когда нужно определить часть группы по процентному соотношению. Важно помнить, что процент всегда указывает на часть от целого. В данном случае, 100% соответствует всем 35 ученикам класса, а 60% от этого числа — количеству мальчиков.

Пояснение:

Для нахождения числа по его проценту нужно составить уравнение. Пусть искомое число равно x. По условию, 15% от x равны 27, то есть 0,15x = 27. Отсюда находим x: x = 27 ÷ 0,15 = 180. Можно решить задачу и с помощью пропорции: если 15% от числа составляют 27, то 100% составят x. Тогда 15% : 27 = 100% : x, откуда x = (27 × 100%) ÷ 15% = 27 × (100 ÷ 15) = 27 × 6,67 = 180. Проверка: 15% от 180 = 180 × 0,15 = 27. Этот метод решения полезен, когда требуется восстановить целое число по известной его части.

Пояснение:

Чтобы найти число по известному его проценту, нужно составить уравнение. Пусть искомое число равно x. По условию, 20% от x равны 45, то есть 0,2x = 45. Решаем уравнение: x = 45 ÷ 0,2 = 225. Можно решить задачу и с помощью пропорции: если 20% числа равны 45, то 100% составят x. Тогда 20% : 45 = 100% : x, откуда x = (45 × 100%) ÷ 20% = 45 × 5 = 225. Также можно рассуждать так: если 20% числа равны 45, то 1% составляет 45 ÷ 20 = 2,25, а 100% составят 2,25 × 100 = 225. Проверка: 20% от 225 = 225 × 0,2 = 45.

Пояснение:

При повышении цены на 15% новая цена составляет 115% от старой (100% + 15% = 115%). Таким образом, новая цена равна 800 × 1,15 = 920 рублей. Можно решить задачу и по-другому: найти сумму повышения и прибавить её к первоначальной цене. Повышение составляет 15% от 800 рублей: 800 × 0,15 = 120 рублей. Тогда новая цена: 800 + 120 = 920 рублей. Такой тип задач часто встречается при работе с ценами, тарифами, налогами и другими экономическими показателями. Важно помнить формулу: «новое значение = старое значение × (1 + процент изменения/100)».

Пояснение:

При скидке 20% новая цена составляет 80% от первоначальной (100% - 20% = 80%). Вычисляем: 550 × 0,8 = 440 рублей. Можно решить и по-другому: найти сумму скидки и вычесть её из первоначальной цены. Скидка составляет 20% от 550 рублей: 550 × 0,2 = 110 рублей. Тогда новая цена: 550 - 110 = 440 рублей. Задачи на скидки и наценки встречаются в реальной жизни при совершении покупок. Важно уметь быстро определять новую цену товара, особенно когда скидка выражена в виде простого процента, например, 10%, 20%, 25% или 50%. В данном случае, скидка в 20% означает, что новая цена составляет 4/5 от первоначальной.

Пояснение:

Чтобы найти количество учеников начальных классов, вычислим 30% от общего количества учеников: 420 × 0,3 = 126. Можно решить задачу и по-другому: 30% = 3/10, поэтому количество учеников начальных классов составляет три десятых от общего числа: (420 ÷ 10) × 3 = 42 × 3 = 126. Задачи на проценты часто встречаются в ситуациях, когда нужно определить, какую часть группы составляют люди, обладающие определенным признаком. В таких задачах важно правильно определить, что именно соответствует 100% (в данном случае — все 420 учеников школы), а затем найти нужный процент от этого количества.

Пояснение:

Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, нужно найти разницу между ними, разделить на меньшее число и умножить на 100%. Разница: 75 - 60 = 15. Находим, сколько процентов составляет эта разница от 60: (15 ÷ 60) × 100% = 0,25 × 100% = 25%. Можно проверить: если увеличить 60 на 25%, получим 60 + 60 × 0,25 = 60 + 15 = 75. Такой тип задач требует внимательности в определении, какое число является базовым (то, относительно которого происходит изменение). В данном случае базовым является число 60, а 75 — это результат его увеличения на 25%. Важно отличать «на сколько процентов больше» (относительное изменение) от «насколько больше» (абсолютное изменение).

Пояснение:

Чтобы найти, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно найти разницу между ними, разделить на большее число и умножить на 100%. Разница: 50 - 40 = 10. Находим, сколько процентов составляет эта разница от 50: (10 ÷ 50) × 100% = 0,2 × 100% = 20%. Можно проверить: если уменьшить 50 на 20%, получим 50 - 50 × 0,2 = 50 - 10 = 40. Важно помнить, что при определении процентного уменьшения базовым является большее число, а при определении процентного увеличения — меньшее. В данном случае базовым числом является 50, а 40 — это результат его уменьшения на 20%.

Пояснение:

Чтобы найти ширину прямоугольника, нужно вычислить 80% от длины: 15 см × 0,8 = 12 см. Можно решить задачу и по-другому: 80% = 4/5, поэтому ширина составляет четыре пятых от длины: (15 ÷ 5) × 4 = 3 × 4 = 12 см. Проверка: 12 см составляют 80% от 15 см, так как (12 ÷ 15) × 100% = 0,8 × 100% = 80%. В геометрических задачах часто встречаются ситуации, когда один размер фигуры выражен в процентах от другого. Важно уметь переводить проценты в десятичные дроби или обыкновенные дроби для проведения вычислений.

Пояснение:

Чтобы найти доход по вкладу, нужно вычислить определенный процент от суммы вклада. В данном случае, доход составит 5% от 2400 рублей: 2400 × 0,05 = 120 рублей. Можно решить задачу и по-другому: 5% = 1/20, поэтому доход составляет одну двадцатую от суммы вклада: 2400 ÷ 20 = 120 рублей. После начисления процентов общая сумма на счёте составит 2400 + 120 = 2520 рублей. Задачи на проценты часто встречаются в финансовой сфере при расчёте процентов по вкладам и кредитам. В простейшем случае (простые проценты) доход вычисляется как произведение суммы вклада, процентной ставки и срока вклада в годах.

Пояснение:

Чтобы найти количество учебников, вычислим 36% от общего количества книг: 900 × 0,36 = 324 учебника. Можно решить задачу и по-другому: 36% = 9/25, поэтому количество учебников составляет 9/25 от общего числа книг: (900 ÷ 25) × 9 = 36 × 9 = 324. Данный тип задач является классическим для нахождения процента от величины. В таких задачах важно правильно определить, что именно соответствует 100% (в данном случае — все 900 книг библиотеки), а затем найти нужный процент от этого количества. Умение решать такие задачи полезно для анализа статистических данных и понимания процентных соотношений.

Пояснение:

Для нахождения числа по его проценту составляем уравнение. Пусть искомое число равно x. По условию, 75% от x равны 180, то есть 0,75x = 180. Решаем уравнение: x = 180 ÷ 0,75 = 240. Можно решить задачу и с помощью пропорции: если 75% числа равны 180, то 100% составят x. Тогда 75% : 180 = 100% : x, откуда x = (180 × 100%) ÷ 75% = 180 × (100 ÷ 75) = 180 × (4/3) = 240. Также можно рассуждать так: если 75% числа равны 180, то 1% составляет 180 ÷ 75 = 2,4, а 100% составят 2,4 × 100 = 240. Проверка: 75% от 240 = 240 × 0,75 = 180.

Пояснение:

При снижении цены на 12% новая цена составляет 88% от первоначальной (100% - 12% = 88%). Вычисляем: 350 × 0,88 = 308 рублей. Можно решить и по-другому: найти сумму скидки и вычесть её из первоначальной цены. Скидка составляет 12% от 350 рублей: 350 × 0,12 = 42 рубля. Тогда новая цена: 350 - 42 = 308 рублей. Задачи на изменение цены часто встречаются в повседневной жизни. Важно уметь быстро вычислять цену после скидки или наценки. В данном случае, снижение на 12% означает, что новая цена составляет 88% от первоначальной. При работе с процентами полезно помнить, что при изменении на p% коэффициент умножения равен (1 ± p/100), где знак «+» используется при увеличении, а «−» при уменьшении.

Пояснение:

Чтобы найти общее количество учеников, составляем уравнение.

Пусть в классе x учеников. По условию, 30% от x равны 12, то есть 0,3x = 12.

Решаем уравнение: x = 12 ÷ 0,3 = 40.

Можно решить задачу и с помощью пропорции: если 30% учеников соответствуют 12 ученикам, то 100% соответствуют x ученикам.

Тогда 30% : 12 = 100% : x, откуда x = (12 × 100%) ÷ 30% = 12 × (10/3) = 40.

Также можно рассуждать так: если 12 учеников составляют 30% класса, то 1% составляет 12 ÷ 30 = 0,4 ученика, а 100% составляют 0,4 × 100 = 40 учеников.

Пояснение:

Чтобы найти 45% от 1500 рублей, умножаем 1500 на 0,45: 1500 × 0,45 = 675 рублей. Можно решить задачу и по-другому: 45% = 9/20, поэтому 45% от 1500 — это 9/20 от 1500, то есть (1500 ÷ 20) × 9 = 75 × 9 = 675 рублей. Также можно найти процент по частям: 40% от 1500 = 1500 × 0,4 = 600 рублей, 5% от 1500 = 1500 × 0,05 = 75 рублей, а всего 45% составляют 600 + 75 = 675 рублей. Задачи на проценты от суммы денег часто встречаются в финансовых расчётах, например при определении суммы налога, комиссии, скидки или чаевых.

Пояснение:

Повышение цены составляет 25% от первоначальной цены, то есть 240 × 0,25 = 60 рублей. Проверка: новая цена равна 240 + 60 = 300 рублей, что на 25% больше, чем 240, так как 240 × 1,25 = 300. В задачах на изменение цены бывает нужно найти как абсолютное изменение (на сколько рублей), так и относительное изменение (на сколько процентов). В данном случае нас интересует абсолютное изменение, то есть сумма, на которую изменилась цена. Важно помнить, что процентное изменение всегда вычисляется относительно первоначального значения, а не конечного.

Пояснение:

Чтобы найти количество детей до 18 лет, вычислим 35% от общего количества жителей: 56000 × 0,35 = 19600. Можно решить задачу и по-другому: 35% = 7/20, поэтому количество детей составляет 7/20 от общего числа жителей: (56000 ÷ 20) × 7 = 2800 × 7 = 19600. Задачи на проценты часто используются в статистике и демографии для анализа состава населения по различным признакам (возраст, пол, образование и т.д.). В таких задачах важно правильно определить, что именно представляет 100% (в данном случае — все 56000 жителей города), а затем найти нужный процент от этого количества.

Пояснение:

Если Петя потратил 60% своих денег, то у него осталось 40% (100% - 60% = 40%) первоначальной суммы. По условию, 40% первоначальной суммы равны 200 рублям. Пусть первоначальная сумма равна x рублей, тогда 0,4x = 200, откуда x = 200 ÷ 0,4 = 500 рублей. Проверка: 60% от 500 рублей = 500 × 0,6 = 300 рублей — потрачено, осталось 500 - 300 = 200 рублей. Данный тип задач требует внимательного анализа условия, чтобы правильно составить уравнение. Важно понять, что именно представляют собой оставшиеся деньги с точки зрения процентов от первоначальной суммы.