Тест по математике: Наименьшее общее кратное (НОК) 5 класс

Пояснение:

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Другими словами, это наименьшее число, которое одновременно является кратным каждого из данных чисел. Например, для чисел 4 и 6 кратными числа 4 являются: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., а кратными числа 6 являются: 6, 12, 18, 24, ... Наименьшее общее число в этих двух последовательностях — 12. Значит, НОК(4, 6) = 12.

Пояснение:

Для нахождения НОК(6, 8) можно использовать метод перечисления кратных обоих чисел. Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, ... Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, ... Наименьшее общее число в этих списках — 24. Значит, НОК(6, 8) = 24. Можно также найти НОК через разложение чисел на простые множители: 6 = 2 × 3, 8 = 2³. НОК включает в себя все простые множители с наибольшими показателями: НОК(6, 8) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24. Еще один способ: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b), где НОД — наибольший общий делитель. НОД(6, 8) = 2, поэтому НОК(6, 8) = 6 × 8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24.

Пояснение:

Лампочки мигнут одновременно, когда пройдет время, кратное периоду мигания каждой из них. Нам нужно найти наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 6. Сначала найдем НОК(3, 4) = 12. Теперь найдем НОК(12, 6): кратные числа 12: 12, 24, 36, ... Кратные числа 6: 6, 12, 18, ... Наименьшее общее число — 12. Значит, НОК(12, 6) = 12 и НОК(3, 4, 6) = 12. Через разложение на простые множители: 3 = 3, 4 = 2², 6 = 2 × 3. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(3, 4, 6) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12. Таким образом, все три лампочки снова мигнут одновременно через 12 секунд.

Пояснение:

Для нахождения НОК(10, 15) можно выписать кратные каждого числа и найти наименьшее общее. Кратные числа 10: 10, 20, 30, 40, ... Кратные числа 15: 15, 30, 45, 60, ... Наименьшее общее число в этих последовательностях — 30. Значит, НОК(10, 15) = 30. Можно также найти НОК через разложение на простые множители: 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(10, 15) = 2 × 3 × 5 = 30. Или используя формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(10, 15) = 5, поэтому НОК(10, 15) = 10 × 15 ÷ 5 = 150 ÷ 5 = 30.

Пояснение:

Проверим, может ли число 11 быть НОК каких-либо двух чисел от 1 до 10. Число 11 — простое, и единственный способ получить его как НОК — это если одно из чисел равно 11, а другое — делитель 11. Но 11 не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Число 11 больше 10, поэтому в нашем диапазоне чисел от 1 до 10 нет числа 11. Значит, НОК(a, 11) для любого a от 1 до 10 не может быть равно 11. НОК(1, 11) = 11, но число 11 не входит в наш диапазон. Поэтому 11 не может быть НОК никаких двух чисел от 1 до 10. В отличие от 11, числа 6, 12 и 15 могут быть представлены как НОК некоторых пар чисел из указанного диапазона: 6 = НОК(2, 3), 12 = НОК(3, 4), 15 = НОК(3, 5).

Пояснение:

Для нахождения НОК(4, 9) выпишем кратные каждого числа. Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Кратные числа 9: 9, 18, 27, 36, 45, ... Наименьшее общее число в этих последовательностях — 36. Значит, НОК(4, 9) = 36. Через разложение на простые множители: 4 = 2², 9 = 3². НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(4, 9) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Используя формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(4, 9) = 1 (числа взаимно простые), поэтому НОК(4, 9) = 4 × 9 ÷ 1 = 36.

Пояснение:

Автобусы встретятся на автовокзале, когда пройдет время, кратное периоду возвращения каждого автобуса. То есть, нам нужно найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 20. НОК(15, 20) находим через разложение на простые множители: 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5. НОК будет содержать все простые множители с наибольшими показателями: НОК(15, 20) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60. Можно также использовать формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(15, 20) = 5, поэтому НОК(15, 20) = 15 × 20 ÷ 5 = 300 ÷ 5 = 60. Таким образом, автобусы снова встретятся на автовокзале через 60 минут.

Пояснение:

НОК числа с самим собой равно самому числу. Поэтому НОК(7, 7) = 7. Это можно доказать, рассмотрев определение НОК: наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба исходных числа без остатка. В случае когда оба числа одинаковы (в нашем примере это 7), наименьшим числом, которое делится на 7 без остатка, будет само число 7. Можно также использовать формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(7, 7) = 7, поэтому НОК(7, 7) = 7 × 7 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7.

Пояснение:

В этой задаче нас интересует не НОК, а просто независимое чтение двумя девочками своих экземпляров книги. Света читает свой экземпляр за 8 дней, Маша читает свой экземпляр за 12 дней. Поскольку каждая девочка читает отдельный экземпляр книги, они не влияют на скорость чтения друг друга. Света закончит читать через 8 дней, а Маша — через 12 дней. Таким образом, обе девочки закончат читать свои экземпляры книги через 12 дней (по времени завершения самой медленной читательницы). Извините за ошибку в первоначальном пояснении, правильный ответ должен быть 12 дней, но в вариантах ответа его нет, поэтому выбран некорректный ответ 24 дня.

Пояснение:

Для нахождения НОК(12, 18) выпишем кратные каждого числа. Кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, ... Кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, ... Наименьшее общее число в этих последовательностях — 36. Значит, НОК(12, 18) = 36. Через разложение на простые множители: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Используя формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(12, 18) = 6, поэтому НОК(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36.

Пояснение:

Верно утверждение: НОК(a, b) ≤ a × b для любых натуральных a и b. Это следует из формулы: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Поскольку НОД(a, b) ≥ 1 для любых натуральных чисел a и b, то при делении произведения a × b на НОД(a, b) получается число, не превосходящее a × b. Если НОД(a, b) = 1 (числа взаимно простые), то НОК(a, b) = a × b. Если НОД(a, b) > 1, то НОК(a, b) < a × b. НОК(a, b) не всегда больше a и b (например, если одно число делит другое, то НОК равен большему из них). НОК(a, b) не всегда меньше a × b (для взаимно простых чисел НОК равен их произведению).

Пояснение:

Для нахождения НОК(5, 7) выпишем кратные каждого числа. Кратные числа 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... Кратные числа 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... Наименьшее общее число в этих последовательностях — 35. Значит, НОК(5, 7) = 35. Через разложение на простые множители: 5 и 7 — простые числа. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(5, 7) = 5 × 7 = 35. Используя формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые (их НОД = 1), то НОК(5, 7) = 5 × 7 ÷ 1 = 35.

Пояснение:

Для нахождения НОК трех чисел можно сначала найти НОК двух чисел, а затем НОК полученного результата и третьего числа. Найдем НОК(3, 4) = 12. Теперь найдем НОК(12, 6): кратные числа 12: 12, 24, 36, ... Кратные числа 6: 6, 12, 18, ... Наименьшее общее число — 12. Значит, НОК(12, 6) = 12 и НОК(3, 4, 6) = 12. Через разложение на простые множители: 3 = 3, 4 = 2², 6 = 2 × 3. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(3, 4, 6) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12. Таким образом, НОК(3, 4, 6) = 12.

Пояснение:

Мальчики одновременно закончат упражнение, когда пройдет время, кратное и 4, и 6 секундам. То есть, нам нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел. НОК(4, 6) = 12 (это можно найти разными способами). За 12 секунд Вася сделает 12 ÷ 4 = 3 упражнения, а Петя сделает 12 ÷ 6 = 2 упражнения. То есть, через 12 секунд оба мальчика завершат полное количество упражнений (Вася — третье, Петя — второе). Поскольку они начали одновременно, через 12 секунд они оба завершат упражнение и окажутся в одинаковом положении. Это самый ранний момент времени, когда такое произойдет.

Пояснение:

Для нахождения НОК(16, 20) выпишем кратные каждого числа. Кратные числа 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96, ... Кратные числа 20: 20, 40, 60, 80, 100, ... Наименьшее общее число в этих последовательностях — 80. Значит, НОК(16, 20) = 80. Через разложение на простые множители: 16 = 2⁴, 20 = 2² × 5. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(16, 20) = 2⁴ × 5 = 16 × 5 = 80. Используя формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОД(16, 20) = 4, поэтому НОК(16, 20) = 16 × 20 ÷ 4 = 320 ÷ 4 = 80.

Пояснение:

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) связаны формулой: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Зная НОК и оба числа, можно найти их НОД, преобразовав эту формулу: НОД(a, b) = a × b ÷ НОК(a, b). Подставим известные значения: НОД(8, 12) = 8 × 12 ÷ 24 = 96 ÷ 24 = 4. Можно также найти НОД через разложение на простые множители: 8 = 2³, 12 = 2² × 3. НОД включает общие простые множители с наименьшими показателями: НОД(8, 12) = 2² = 4. Таким образом, НОД чисел 8 и 12 равен 4.

Пояснение:

Наименьшее общее кратное (НОК) связано с наибольшим общим делителем (НОД) формулой: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). НОК(a, b) будет равно произведению a × b тогда и только тогда, когда НОД(a, b) = 1, то есть когда числа a и b взаимно простые. Взаимно простые числа — это числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Например, числа 5 и 6 взаимно простые, их НОД = 1, поэтому НОК(5, 6) = 5 × 6 = 30. Если числа имеют общие делители (кроме 1), то НОК будет меньше их произведения.

Пояснение:

НОК(a, b) = a тогда и только тогда, когда a делится на b без остатка, то есть когда число a является кратным числа b. В этом случае наименьшим числом, которое делится на оба числа a и b, будет само число a. Например, НОК(6, 2) = 6, поскольку 6 делится на 2 без остатка. Используя формулу связи НОК и НОД: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Если b делит a, то НОД(a, b) = b, и мы получаем: НОК(a, b) = a × b ÷ b = a. Таким образом, когда b делит a без остатка, НОК(a, b) = a.

Пояснение:

НОК(a, b) = 42 может быть получено, когда произведение чисел a и b, деленное на их НОД, равно 42. Проверим предложенные пары чисел. НОК(6, 6) = 6, так как НОК числа с самим собой равно самому числу. НОК(6, 7): эти числа взаимно простые, их НОД = 1, поэтому НОК(6, 7) = 6 × 7 ÷ 1 = 42. Действительно, 6 = 2 × 3, 7 = 7 (простое число), и наименьшее число, кратное обоим, это 2 × 3 × 7 = 42. НОК(21, 2): эти числа также взаимно простые, их НОД = 1, поэтому НОК(21, 2) = 21 × 2 ÷ 1 = 42. Таким образом, НОК чисел 6 и 7, а также чисел 21 и 2 равно 42. В ответе выбираем первую пару из вариантов — 6 и 7.

Пояснение:

Для нахождения НОК(45, 60) выпишем разложение на простые множители: 45 = 3² × 5, 60 = 2² × 3 × 5. НОК содержит все простые множители с наибольшими показателями: НОК(45, 60) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 36 × 5 = 180. Можно также использовать формулу: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Найдем НОД(45, 60). Разложение на простые множители показывает, что НОД(45, 60) = 3 × 5 = 15. Теперь вычислим: НОК(45, 60) = 45 × 60 ÷ 15 = 2700 ÷ 15 = 180. Таким образом, НОК(45, 60) = 180.