Тест по математике: Формулы площади поверхности сферы и объёма шара (6 класс)
Тест по математике «Формулы площади поверхности сферы и объёма шара» — это интерактивная проверочная (контрольная) работа онлайн, рассчитанная на учащихся 6 класса. Проверьте свои знания о геометрических формулах и научитесь применять их для решения задач.
1
Чему равна площадь поверхности сферы радиуса R?
Правильный ответ:
S = 4πR²Пояснение:
Площадь поверхности сферы радиуса R вычисляется по формуле S = 4πR². Это одна из основных формул в геометрии. Сфера — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра сферы). Эта формула была выведена еще древними математиками и широко используется при решении различных задач.2
По какой формуле вычисляется объём шара радиуса R?
Правильный ответ:
V = (4/3)πR³Пояснение:
Объём шара радиуса R вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Шар — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное (радиус шара) от данной точки (центра шара). Эта формула активно используется в физике, инженерии и других областях, где нужно вычислить объём сферических тел.3
Чему равна площадь поверхности сферы, если её радиус равен 3 см?
Правильный ответ:
36π см²Пояснение:
Для нахождения площади поверхности сферы используем формулу S = 4πR². Подставляем радиус R = 3 см: S = 4π·3² = 4π·9 = 36π см². Результат можно также записать как 113,04 см², если использовать приближённое значение π ≈ 3,14. Площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату её радиуса, поэтому при увеличении радиуса в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза.
4
Найдите объём шара, если его радиус равен 2 см.
Правильный ответ:
(32π/3) см³Пояснение:
Для нахождения объёма шара используем формулу V = (4/3)πR³. Подставляем радиус R = 2 см: V = (4/3)π·2³ = (4/3)π·8 = (32π/3) см³. Если использовать приближённое значение π ≈ 3,14, получим примерно 33,49 см³. Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому даже небольшое изменение радиуса может существенно изменить объём всего шара.5
Как изменится площадь поверхности сферы, если её радиус увеличить в 2 раза?
Правильный ответ:
увеличится в 4 разаПояснение:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4πR². Если радиус увеличится в 2 раза, то новая площадь будет равна S₂ = 4π(2R)² = 4π·4R² = 16πR², что в 4 раза больше исходной площади S₁ = 4πR². Таким образом, при увеличении радиуса в 2 раза площадь поверхности сферы увеличится в 4 раза. Это связано с тем, что площадь зависит от квадрата радиуса.6
Как изменится объём шара, если его радиус увеличить в 3 раза?
Правильный ответ:
увеличится в 27 разПояснение:
Объём шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Если радиус увеличится в 3 раза, то новый объём будет равен V₂ = (4/3)π(3R)³ = (4/3)π·27R³ = 36πR³, что в 27 раз больше исходного объёма V₁ = (4/3)πR³. Таким образом, при увеличении радиуса в 3 раза объём шара увеличится в 27 раз. Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому зависимость очень быстро растёт.7
Площадь поверхности сферы равна 100π см². Найдите её радиус.
Правильный ответ:
5 смПояснение:
Используем формулу для площади поверхности сферы: S = 4πR². Подставляем известное значение S = 100π см² и решаем уравнение относительно R: 100π = 4πR², делим обе части на 4π и получаем R² = 25, откуда R = 5 см. Для проверки можем подставить найденное значение в исходную формулу: S = 4π·25 = 100π см², что соответствует условию задачи. Таким образом, радиус сферы равен 5 см.
8
Объём шара равен 36π см³. Найдите его радиус.
Правильный ответ:
3 смПояснение:
Используем формулу для объёма шара: V = (4/3)πR³. Подставляем известное значение V = 36π см³ и решаем уравнение относительно R: 36π = (4/3)πR³, делим обе части на (4/3)π и получаем R³ = 27, откуда R = 3 см. Проверка: V = (4/3)π·27 = 36π см³, что соответствует условию. Таким образом, радиус шара с объёмом 36π см³ равен 3 см. Этот метод позволяет находить радиус по известному объёму.
9
Найдите диаметр сферы, площадь поверхности которой равна 16π см².
Правильный ответ:
4 смПояснение:
Используем формулу для площади поверхности сферы: S = 4πR². Подставляем S = 16π см² и находим радиус: 16π = 4πR², откуда R² = 4 и R = 2 см. Диаметр сферы равен двум радиусам, то есть D = 2R = 2·2 = 4 см. Диаметр сферы — это отрезок, проходящий через центр сферы и соединяющий две точки на её поверхности. Это важнейшая характеристика сферы наряду с радиусом.10
Найдите диаметр шара, объём которого равен (32π/3) см³.
Правильный ответ:
4 смПояснение:
Используем формулу для объёма шара: V = (4/3)πR³. Подставляем V = (32π/3) см³ и находим радиус: (32π/3) = (4/3)πR³, откуда R³ = 8 и R = 2 см. Диаметр шара равен двум радиусам: D = 2R = 2·2 = 4 см. Диаметр шара — это максимальное расстояние между двумя точками шара. Он всегда в два раза больше радиуса и является ключевой характеристикой при решении многих геометрических задач.11
Радиус сферы увеличили в 2 раза. Как изменится площадь её поверхности?
Правильный ответ:
увеличится в 4 разаПояснение:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4πR². Если радиус увеличится в 2 раза и станет равным 2R, то новая площадь поверхности будет равна S₂ = 4π(2R)² = 4π·4R² = 16πR². Исходная площадь равна S₁ = 4πR². Отношение S₂/S₁ = 16πR²/(4πR²) = 4. Таким образом, площадь поверхности сферы увеличится в 4 раза при увеличении радиуса в 2 раза.12
Радиус шара уменьшили в 2 раза. Как изменился его объём?
Правильный ответ:
уменьшился в 8 разПояснение:
Объём шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Если радиус уменьшится в 2 раза и станет равным R/2, то новый объём будет равен V₂ = (4/3)π(R/2)³ = (4/3)π·R³/8 = (4/3)πR³/8. Исходный объём равен V₁ = (4/3)πR³. Отношение V₁/V₂ = (4/3)πR³/((4/3)πR³/8) = 8. Таким образом, объём шара уменьшится в 8 раз при уменьшении радиуса в 2 раза.13
Найдите площадь поверхности сферы, если её диаметр равен 10 см.
Правильный ответ:
100π см²Пояснение:
Диаметр сферы D = 10 см, значит, радиус R = D/2 = 10/2 = 5 см. Используем формулу для площади поверхности сферы: S = 4πR² = 4π·5² = 4π·25 = 100π см². Полученный результат можно также выразить приближённо как 314 см², если использовать π ≈ 3,14. Знание связи между диаметром и радиусом особенно важно при решении практических задач, где часто известен именно диаметр объекта.14
Найдите объём шара, если его диаметр равен 6 см.
Правильный ответ:
36π см³Пояснение:
Диаметр шара D = 6 см, значит, радиус R = D/2 = 6/2 = 3 см. Используем формулу для объёма шара: V = (4/3)πR³ = (4/3)π·3³ = (4/3)π·27 = 36π см³. Если использовать приближённое значение π ≈ 3,14, получим примерно 113,04 см³. Это важный пример, показывающий, как находить объём шара, зная его диаметр, что часто встречается в практических задачах.15
Площадь поверхности сферы равна 36π см². Чему равен её диаметр?
Правильный ответ:
6 смПояснение:
Используем формулу для площади поверхности сферы: S = 4πR². Подставляем S = 36π см² и находим радиус: 36π = 4πR², откуда R² = 9 и R = 3 см. Диаметр сферы равен двум радиусам: D = 2R = 2·3 = 6 см. Таким образом, диаметр сферы с площадью поверхности 36π см² равен 6 см. Эта задача демонстрирует обратный процесс — нахождение размеров сферы по известной площади её поверхности.16
Объём шара равен (288π/3) см³. Чему равен его диаметр?
Правильный ответ:
12 смПояснение:
Используем формулу для объёма шара: V = (4/3)πR³. Подставляем V = (288π/3) см³ и находим радиус: (288π/3) = (4/3)πR³, откуда R³ = 72 и R = 6^(1/3) · 3 ≈ 6 см. Диаметр шара равен двум радиусам: D = 2R = 2·6 = 12 см. Таким образом, диаметр шара с объёмом (288π/3) см³ равен 12 см. Задача демонстрирует важный навык вычисления размеров шара по его объёму.17
Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если её радиус увеличить в 3 раза?
Правильный ответ:
в 9 разПояснение:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4πR². Если радиус увеличится в 3 раза и станет равным 3R, то новая площадь поверхности будет равна S₂ = 4π(3R)² = 4π·9R² = 36πR². Исходная площадь равна S₁ = 4πR². Отношение S₂/S₁ = 36πR²/(4πR²) = 9. Таким образом, площадь поверхности сферы увеличится в 9 раз при увеличении радиуса в 3 раза, что соответствует квадратичной зависимости от радиуса.18
Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза?
Правильный ответ:
в 8 разПояснение:
Объём шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Если радиус увеличится в 2 раза и станет равным 2R, то новый объём будет равен V₂ = (4/3)π(2R)³ = (4/3)π·8R³ = (32/3)πR³. Исходный объём равен V₁ = (4/3)πR³. Отношение V₂/V₁ = (32πR³/3)/((4πR³/3)) = 8. Таким образом, объём шара увеличится в 8 раз при увеличении радиуса в 2 раза, что соответствует кубической зависимости от радиуса.19
Если площадь поверхности сферы увеличилась в 9 раз, то её радиус увеличился:
Правильный ответ:
в 3 разаПояснение:
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S = 4πR². Если S₂ = 9S₁, то 4πR₂² = 9·4πR₁², откуда R₂² = 9R₁² и R₂ = 3R₁. Таким образом, радиус увеличился в 3 раза. Это согласуется с тем, что площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату её радиуса, поэтому если площадь увеличилась в 9 раз, то радиус должен увеличиться в квадратный корень из 9, то есть в 3 раза.20
Если объём шара увеличился в 27 раз, то его радиус увеличился:
Правильный ответ:
в 3 разаПояснение:
Объём шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Если V₂ = 27V₁, то (4/3)πR₂³ = 27·(4/3)πR₁³, откуда R₂³ = 27R₁³ и R₂ = 3R₁. Таким образом, радиус увеличился в 3 раза. Это согласуется с тем, что объём шара пропорционален кубу его радиуса, поэтому если объём увеличился в 27 раз, то радиус должен увеличиться в кубический корень из 27, то есть в 3 раза.
