Тест по математике: Наибольший общий делитель (НОД) 5 класс
Тест «Наибольший общий делитель» — проверочная (контрольная) работа, рассчитанная на учащихся 5 класса. В тесте собраны задания на понимание понятия НОД, умение находить НОД различными способами, применять свойства НОД при решении задач. Для успешного прохождения теста нужно знать, что такое делитель числа, уметь раскладывать числа на простые множители и находить НОД при помощи алгоритма Евклида.
1
Что такое наибольший общий делитель (НОД) двух чисел?
Правильный ответ:
Самое большое число, на которое делятся оба данных числа без остатка.Пояснение:
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это самое большое натуральное число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются 1, 2, 3 и 6. Среди этих чисел самое большое — 6, значит НОД(12, 18) = 6. Это важное понятие, которое используется в сокращении дробей, нахождении наименьшего общего кратного и решении многих практических задач.
2
Чему равен НОД(15, 25)?
Правильный ответ:
5Пояснение:
Чтобы найти НОД(15, 25), выпишем все делители каждого числа. Делители 15: 1, 3, 5, 15. Делители 25: 1, 5, 25. Общими делителями являются числа 1 и 5. Наибольший из них — 5, поэтому НОД(15, 25) = 5. Можно также использовать разложение на простые множители: 15 = 3 × 5, 25 = 5². В разложении обоих чисел встречается только множитель 5 (с наименьшей степенью 1), поэтому НОД(15, 25) = 5¹ = 5. Если использовать алгоритм Евклида: 25 = 15 × 1 + 10, 15 = 10 × 1 + 5, 10 = 5 × 2 + 0, то НОД = 5.3
Чему равен НОД(18, 24)?
Правильный ответ:
6Пояснение:
Для нахождения НОД(18, 24) можно выписать все делители каждого числа. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Общие делители: 1, 2, 3, 6. Наибольший из них — 6, поэтому НОД(18, 24) = 6. Второй способ — разложение на простые множители: 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3. Выбираем общие простые множители с наименьшими показателями: НОД(18, 24) = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6. Можно также использовать алгоритм Евклида: 24 = 18 × 1 + 6, 18 = 6 × 3 + 0, поэтому НОД = 6.4
Чему равен НОД(7, 13)?
Правильный ответ:
1Пояснение:
Числа 7 и 13 являются простыми числами. У простого числа только два делителя: 1 и само число. Поэтому делители 7: 1, 7. Делители 13: 1, 13. Единственный общий делитель этих чисел — 1, поэтому НОД(7, 13) = 1. Числа, для которых НОД равен 1, называются взаимно простыми. Это означает, что у них нет общих делителей кроме 1. Все пары простых чисел всегда являются взаимно простыми. Взаимно простые числа играют важную роль в теории чисел и имеют особые свойства при нахождении НОК и в других вычислениях.5
Чему равен НОД(36, 48)?
Правильный ответ:
12Пояснение:
Для нахождения НОД(36, 48) можно использовать разложение на простые множители: 36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3. НОД включает общие простые множители с наименьшими показателями: НОД(36, 48) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12. Можно также применить алгоритм Евклида: 48 = 36 × 1 + 12, 36 = 12 × 3 + 0, поэтому НОД = 12. Еще один способ — выписать все делители каждого числа и выбрать наибольший общий. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Наибольший общий делитель — 12.6
Чему равен НОД(14, 35)?
Правильный ответ:
7Пояснение:
Разложим числа на простые множители: 14 = 2 × 7, 35 = 5 × 7. Общим множителем является 7, поэтому НОД(14, 35) = 7. Можно также использовать алгоритм Евклида: 35 = 14 × 2 + 7, 14 = 7 × 2 + 0, поэтому НОД = 7. Еще один способ — выписать все делители каждого числа. Делители 14: 1, 2, 7, 14. Делители 35: 1, 5, 7, 35. Общие делители: 1, 7. Наибольший из них — 7. Таким образом, НОД(14, 35) = 7. Это означает, что 7 — самое большое число, на которое оба числа (14 и 35) делятся без остатка.7
Чему равен НОД(16, 20)?
Правильный ответ:
4Пояснение:
Для нахождения НОД(16, 20) разложим числа на простые множители: 16 = 2⁴, 20 = 2² × 5. Общими множителями являются степени двойки, с наименьшим показателем 2, поэтому НОД(16, 20) = 2² = 4. Можно также использовать алгоритм Евклида: 20 = 16 × 1 + 4, 16 = 4 × 4 + 0, поэтому НОД = 4. Еще один способ — выписать все делители каждого числа. Делители 16: 1, 2, 4, 8, 16. Делители 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Общие делители: 1, 2, 4. Наибольший из них — 4, поэтому НОД(16, 20) = 4.8
Чему равен НОД(45, 75)?
Правильный ответ:
15Пояснение:
Для нахождения НОД(45, 75) разложим числа на простые множители: 45 = 3² × 5, 75 = 3 × 5². Общими простыми множителями являются 3 и 5, с наименьшими показателями 1, поэтому НОД(45, 75) = 3¹ × 5¹ = 3 × 5 = 15. Можно также использовать алгоритм Евклида: 75 = 45 × 1 + 30, 45 = 30 × 1 + 15, 30 = 15 × 2 + 0, поэтому НОД = 15. Еще один способ — выписать все делители каждого числа и найти наибольший общий. Делители 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Делители 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Общие делители: 1, 3, 5, 15. Наибольший — 15.9
Чему равен НОД(8, 12, 20)?
Правильный ответ:
4Пояснение:
Для нахождения НОД трех чисел можно сначала найти НОД двух из них, а затем НОД полученного результата и третьего числа. Найдем НОД(8, 12) = 4. Теперь найдем НОД(4, 20). Разложим на простые множители: 4 = 2², 20 = 2² × 5. НОД(4, 20) = 2² = 4. Таким образом, НОД(8, 12, 20) = 4. Можно также разложить все три числа на простые множители: 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 20 = 2² × 5. Общий множитель — 2 с наименьшим показателем 2, поэтому НОД(8, 12, 20) = 2² = 4. Это самое большое число, на которое все три числа делятся без остатка.10
Если НОД(a, b) = 1, то числа a и b называются...
Правильный ответ:
Взаимно простымиПояснение:
Числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть НОД(a, b) = 1. Это означает, что единственный общий делитель этих чисел — единица. Примерами взаимно простых чисел являются: 5 и 6, 8 и 9, 10 и 11. Взаимно простые числа не обязательно должны быть простыми числами, главное, чтобы у них не было общих делителей, кроме 1. Например, 8 и 9 — взаимно простые, хотя ни 8, ни 9 не являются простыми числами. Свойства взаимно простых чисел важны в различных областях математики, включая теорию чисел и криптографию.11
Какая дробь является несократимой?
Правильный ответ:
7/13Пояснение:
Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их НОД равен 1. Проверим каждую дробь: 15/25 — НОД(15, 25) = 5, дробь сокращается на 5 до 3/5. 14/35 — НОД(14, 35) = 7, дробь сокращается на 7 до 2/5. 36/48 — НОД(36, 48) = 12, дробь сокращается на 12 до 3/4. 7/13 — НОД(7, 13) = 1, так как 7 и 13 — простые числа, у них нет общих делителей, кроме 1. Поэтому дробь 7/13 является несократимой, то есть её нельзя упростить, разделив числитель и знаменатель на какое-либо общее число.12
Сократите дробь 24/36
Правильный ответ:
2/3Пояснение:
Чтобы сократить дробь 24/36, нужно найти НОД числителя и знаменателя, а затем разделить на него оба числа. Найдём НОД(24, 36). Разложим числа на простые множители: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3². Общие простые множители с наименьшими показателями: 2² и 3¹, поэтому НОД(24, 36) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12. Теперь сократим дробь: 24/36 = 24÷12/36÷12 = 2/3. Можно также использовать алгоритм Евклида: 36 = 24 × 1 + 12, 24 = 12 × 2 + 0, поэтому НОД = 12, и дробь 24/36 = 2/3. Таким образом, дробь 24/36 после сокращения на НОД = 12 равна 2/3.
13
Может ли НОД двух чисел быть больше, чем одно из этих чисел?
Правильный ответ:
Нет, никогдаПояснение:
НОД двух чисел не может быть больше, чем любое из этих чисел. По определению, наибольший общий делитель — это число, которое делит оба данных числа без остатка. Делитель числа не может быть больше самого числа. Например, делители числа 12 — это 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Все они не превышают 12. Поэтому НОД(a, b) ≤ min(a, b), то есть НОД не может превышать меньшее из двух чисел. В частном случае, когда одно число делит другое без остатка, НОД равен меньшему числу. Например, НОД(5, 15) = 5, так как 5 делит 15 без остатка.14
В каком случае НОД(a, b) = a?
Правильный ответ:
Когда a делит b без остаткаПояснение:
НОД(a, b) = a в том случае, когда число a является делителем числа b, то есть когда a делит b без остатка. В этом случае все делители числа a также являются делителями числа b, а самым большим из них является само число a. Например, НОД(3, 12) = 3, потому что 3 делит 12 без остатка (12 = 3 × 4). Можно доказать это, используя алгоритм Евклида: если a делит b, то b = a × k, и при делении b на a получается остаток 0, поэтому НОД = a. Также можно рассмотреть разложение на множители: если все простые множители числа a с их показателями входят в разложение числа b, то НОД(a, b) = a.15
Чему равен НОД(a, 0) для любого натурального числа a?
Правильный ответ:
aПояснение:
Для любого натурального числа a верно, что НОД(a, 0) = a. Это объясняется тем, что любое число является делителем нуля. Действительно, для любого числа d выполняется 0 ÷ d = 0 (без остатка). Поэтому все делители числа a являются также делителями нуля. Наибольший делитель числа a — это само число a. Следовательно, наибольший общий делитель a и 0 равен a. Это свойство можно также доказать, используя алгоритм Евклида: при делении 0 на a получаем 0 = a × 0 + 0, и процесс заканчивается, а последний ненулевой остаток равен a. Таким образом, НОД(a, 0) = a для любого натурального числа a.
16
Дети собрали 28 яблок и 42 груши. Они хотят разложить все фрукты в корзины так, чтобы в каждой корзине было одинаковое количество яблок и одинаковое количество груш. Какое наибольшее количество корзин у них может быть?
Правильный ответ:
14Пояснение:
Чтобы разложить фрукты в корзины так, чтобы в каждой было одинаковое количество яблок и груш, нужно найти НОД количества яблок и количества груш. Это даст максимально возможное количество корзин. НОД(28, 42) = 14. Его можно найти через разложение на простые множители: 28 = 2² × 7, 42 = 2 × 3 × 7. Общие простые множители с наименьшими показателями: 2¹ и 7¹, поэтому НОД(28, 42) = 2 × 7 = 14. В каждую корзину нужно положить 28 ÷ 14 = 2 яблока и 42 ÷ 14 = 3 груши. Таким образом, максимально возможное количество корзин равно 14.17
Володя вырезает квадраты максимально возможного размера из прямоугольного листа бумаги размером 16 см × 20 см. Какой будет сторона квадрата?
Правильный ответ:
4 смПояснение:
Чтобы вырезать из прямоугольника 16 см × 20 см одинаковые квадраты максимального размера без отходов, нужно найти наибольшую длину стороны квадрата, которая будет делителем обоих измерений прямоугольника. Это и есть НОД(16, 20). Разложим на простые множители: 16 = 2⁴, 20 = 2² × 5. Общий множитель — 2 с наименьшим показателем 2, поэтому НОД(16, 20) = 2² = 4. Можно проверить: из прямоугольника 16 см × 20 см можно вырезать 16 ÷ 4 × 20 ÷ 4 = 4 × 5 = 20 квадратов со стороной 4 см. Таким образом, сторона квадрата будет равна 4 см.18
Маша хочет разрезать полоску бумаги длиной 56 см на одинаковые части. Какой длины может быть каждая часть, если их должно быть больше одной?
Правильный ответ:
2 см, 4 см, 7 см, 8 см, 14 см или 28 смПояснение:
Чтобы разрезать полоску бумаги длиной 56 см на одинаковые части, длина каждой части должна быть делителем числа 56. Найдем все делители числа 56. Разложим на простые множители: 56 = 2³ × 7. Все делители числа 56 — это 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Но так как частей должно быть больше одной, то исключаем длину 56 см (когда полоска не разрезается). Таким образом, возможные длины частей: 1, 2, 4, 7, 8, 14 или 28 см. Но часть длиной 1 см слишком мала и нецелесообразна, поэтому в ответе указываем длины 2, 4, 7, 8, 14 или 28 см.19
Чему равен НОД(1, 5)?
Правильный ответ:
1Пояснение:
Для нахождения НОД(1, 5) определим делители каждого числа. Делители числа 1 — только само число 1. Делители числа 5 — 1 и 5. Общий делитель этих чисел — только число 1, поэтому НОД(1, 5) = 1. Число 1 является делителем любого натурального числа, поэтому НОД(1, n) = 1 для любого натурального n. Число 1 является взаимно простым с любым натуральным числом. Это важное свойство единицы в теории чисел. С точки зрения разложения на простые множители: 1 не содержит ни одного простого множителя, 5 — простое число. У этих разложений нет общих множителей, поэтому НОД(1, 5) = 1.20
На доске написаны числа 9, 15 и 21. За одну операцию можно стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b, a – b или b – a. Можно ли получить в итоге число 1?
Правильный ответ:
Нет, так как НОД(9, 15, 21) = 3Пояснение:
При описанных операциях НОД чисел на доске не меняется. Действительно, если a и b делятся на некоторое число d, то a + b, a – b и b – a также делятся на d. Изначально на доске числа 9, 15 и 21. Найдём их НОД: НОД(9, 15) = 3, затем НОД(3, 21) = 3. Таким образом, НОД(9, 15, 21) = 3. Поскольку 3 является делителем всех результатов операций, а 1 не делится на 3, то получить число 1 невозможно. Другое объяснение: все исходные числа кратны 3, поэтому любая комбинация операций сложения и вычитания этих чисел даст число, кратное 3. Число 1 не кратно 3, поэтому его получить нельзя.
