Тест по математике: Определение координатного луча (5 класс)

Пояснение:

Координатный луч — это математическая модель, представляющая собой луч с выбранным началом и единичным отрезком. Началом координатного луча является точка O, которой присваивается координата 0. На луче выбирается единичный отрезок — отрезок определённой длины, который принимается за единицу измерения. С помощью единичного отрезка на луче отмечаются точки, соответствующие натуральным числам 1, 2, 3 и т.д. Каждой точке координатного луча соответствует определённое неотрицательное число — её координата. Координатный луч используется для наглядного представления множества неотрицательных чисел и является частным случаем числовой прямой.

Пояснение:

Началом координатного луча является точка с координатой 0. Эта точка обычно обозначается буквой O (от английского «origin» — начало). Начало координатного луча — это опорная точка, от которой откладываются все остальные точки. От начала координатного луча откладывается единичный отрезок, с помощью которого определяются положения всех остальных точек на луче. Координата начала луча всегда равна нулю, что соответствует отсутствию смещения от начальной точки. Важно понимать, что координатный луч направлен только в одну сторону от начала координат, в отличие от координатной прямой, которая продолжается в обе стороны.

Пояснение:

Единичный отрезок на координатном луче — это отрезок между точками с координатами 0 и 1, то есть отрезок от начала координатного луча до точки с координатой 1. Длина этого отрезка принимается за единицу измерения на координатном луче. С помощью единичного отрезка определяются положения всех остальных точек: точка с координатой 2 находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала, точка с координатой 3 — на расстоянии трёх единичных отрезков и т.д. Выбор длины единичного отрезка определяет масштаб координатного луча. Чем больше длина единичного отрезка, тем более растянутым будет изображение координатного луча.

Пояснение:

На координатном луче можно отметить все неотрицательные числа, то есть нуль и все положительные числа. Это включает натуральные числа (1, 2, 3, ...), нуль (0), положительные дробные числа (1/2, 3/4, 2,5, ...) и положительные иррациональные числа (например, √2, π). Координатный луч начинается в точке с координатой 0 и простирается бесконечно вправо, позволяя отмечать на нём любые неотрицательные числа. Отрицательные числа на координатном луче не отмечаются, в отличие от координатной прямой, которая продолжается влево от нуля и позволяет отмечать отрицательные числа. Координатный луч является геометрической моделью множества неотрицательных действительных чисел.

Пояснение:

Верным утверждением о координатном луче является то, что каждой точке координатного луча соответствует определённое неотрицательное число, которое называется координатой этой точки. Это основное свойство координатного луча, которое позволяет устанавливать взаимно однозначное соответствие между точками луча и неотрицательными числами. Благодаря этому свойству координатный луч служит геометрической моделью множества неотрицательных чисел. Координатный луч имеет начало (точку с координатой 0), бесконечную длину (простирается вправо бесконечно) и позволяет отмечать не только целые, но и любые другие неотрицательные числа, включая дробные и иррациональные.

Пояснение:

Координата начала координатного луча всегда равна 0. Начало координатного луча — это опорная точка, обычно обозначаемая буквой O, от которой откладываются все остальные точки. Присвоение начальной точке координаты 0 является соглашением, которое позволяет установить систему координат на луче. От начала координатного луча откладывается единичный отрезок, с помощью которого определяются положения всех остальных точек. Координата точки на луче показывает, на каком расстоянии (в единичных отрезках) эта точка находится от начала. Поскольку начальная точка не имеет смещения относительно самой себя, её координата равна нулю.

Пояснение:

На координатном луче точка с координатой 3 находится правее остальных перечисленных точек. На координатном луче, который направлен слева направо, чем больше координата точки, тем правее она расположена. Координата точки показывает её расстояние от начала луча, измеренное в единичных отрезках. Точка с координатой 3 находится на расстоянии трёх единичных отрезков от начала, что больше, чем у точек с координатами 2 (два единичных отрезка), 1,5 (полтора единичных отрезка) и 2,5 (два с половиной единичных отрезка). Поэтому точка с координатой 3 расположена правее всех остальных перечисленных точек.

Пояснение:

На координатном луче точка с координатой 1,5 находится левее остальных перечисленных точек. На координатном луче, который направлен слева направо, чем меньше координата точки, тем левее она расположена. Координата точки показывает её расстояние от начала луча, измеренное в единичных отрезках. Точка с координатой 1,5 находится на расстоянии полутора единичных отрезков от начала, что меньше, чем у точек с координатами 2 (два единичных отрезка), 2,5 (два с половиной единичных отрезка) и 3 (три единичных отрезка). Поэтому точка с координатой 1,5 расположена левее всех остальных перечисленных точек.

Пояснение:

Если единичный отрезок на координатном луче равен 1 см, то точка с координатой 3,5 находится на расстоянии 3,5 см от начала луча. Координата точки на координатном луче показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала луча, чтобы достичь этой точки. Поскольку единичный отрезок равен 1 см, то каждая единица координаты соответствует 1 см расстояния. Таким образом, точка с координатой 3,5 находится на расстоянии 3,5 единичных отрезков, что равно 3,5 × 1 см = 3,5 см от начала координатного луча. Это правило позволяет легко определять расстояния между точками на координатном луче, зная их координаты и длину единичного отрезка.

Пояснение:

Если единичный отрезок на координатном луче равен 2 см, то точка с координатой 2,5 находится на расстоянии 5 см от начала луча. Координата точки на координатном луче показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала луча, чтобы достичь этой точки. Поскольку единичный отрезок равен 2 см, то каждая единица координаты соответствует 2 см расстояния. Таким образом, точка с координатой 2,5 находится на расстоянии 2,5 единичных отрезков, что равно 2,5 × 2 см = 5 см от начала координатного луча. Это демонстрирует, как масштаб координатного луча (длина единичного отрезка) влияет на физическое расстояние между точками с заданными координатами.

Пояснение:

Если точка A находится на расстоянии 6 см от начала координатного луча, а единичный отрезок равен 2 см, то координата точки A равна 3. Чтобы найти координату точки, нужно разделить её расстояние от начала луча на длину единичного отрезка. В данном случае: 6 см ÷ 2 см = 3. Это означает, что точка A находится на расстоянии трёх единичных отрезков от начала координатного луча. Координата точки показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала луча, чтобы достичь этой точки. Таким образом, если физическое расстояние от начала луча до точки составляет 6 см, а единичный отрезок равен 2 см, то координата этой точки равна 3.

Пояснение:

Если точка B находится на расстоянии 3,5 см от начала координатного луча, а единичный отрезок равен 0,5 см, то координата точки B равна 7. Чтобы найти координату точки, нужно разделить её расстояние от начала луча на длину единичного отрезка. В данном случае: 3,5 см ÷ 0,5 см = 7. Это означает, что точка B находится на расстоянии семи единичных отрезков от начала координатного луча. Координата точки показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала луча, чтобы достичь этой точки. Таким образом, если физическое расстояние от начала луча до точки составляет 3,5 см, а единичный отрезок равен 0,5 см, то координата этой точки равна 7.

Пояснение:

Расстояние на координатном луче между точками с координатами 2 и 5 составляет 3 единичных отрезка. Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатном луче, нужно вычислить модуль разности их координат. В данном случае: |5 - 2| = |3| = 3. Это означает, что от точки с координатой 2 нужно пройти 3 единичных отрезка вправо, чтобы достичь точки с координатой 5. Или, что то же самое, от точки с координатой 5 нужно пройти 3 единичных отрезка влево, чтобы достичь точки с координатой 2. Расстояние между точками на координатном луче всегда выражается в единичных отрезках и не зависит от выбранного масштаба (физической длины единичного отрезка).

Пояснение:

Расстояние на координатном луче между точками с координатами 3,5 и 7 составляет 3,5 единичных отрезка. Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатном луче, нужно вычислить модуль разности их координат. В данном случае: |7 - 3,5| = |3,5| = 3,5. Это означает, что от точки с координатой 3,5 нужно пройти 3,5 единичных отрезка вправо, чтобы достичь точки с координатой 7. Или, что то же самое, от точки с координатой 7 нужно пройти 3,5 единичных отрезка влево, чтобы достичь точки с координатой 3,5. Расстояние между точками на координатном луче всегда выражается в единичных отрезках и равно абсолютной величине разности координат этих точек.

Пояснение:

Точка, находящаяся посередине между точками A(3) и B(7) на координатном луче, имеет координату 5. Чтобы найти координату середины отрезка на координатном луче, нужно вычислить среднее арифметическое координат его концов. В данном случае: (3 + 7) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5. Это означает, что точка с координатой 5 находится на одинаковом расстоянии от точек A(3) и B(7). Расстояние от точки A(3) до точки с координатой 5 равно |5 - 3| = 2 единичных отрезка. Расстояние от точки B(7) до точки с координатой 5 также равно |7 - 5| = 2 единичных отрезка. Таким образом, точка с координатой 5 действительно является серединой отрезка AB.

Пояснение:

Точка, находящаяся посередине между точками C(2,5) и D(4,5) на координатном луче, имеет координату 3,5. Чтобы найти координату середины отрезка на координатном луче, нужно вычислить среднее арифметическое координат его концов. В данном случае: (2,5 + 4,5) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 3,5. Это означает, что точка с координатой 3,5 находится на одинаковом расстоянии от точек C(2,5) и D(4,5). Расстояние от точки C(2,5) до точки с координатой 3,5 равно |3,5 - 2,5| = 1 единичный отрезок. Расстояние от точки D(4,5) до точки с координатой 3,5 также равно |4,5 - 3,5| = 1 единичный отрезок. Таким образом, точка с координатой 3,5 действительно является серединой отрезка CD.

Пояснение:

На координатном луче нельзя отметить число -2, поскольку координатный луч включает только неотрицательные числа (нуль и положительные числа). Координатный луч начинается в точке с координатой 0 и простирается бесконечно вправо, позволяя отмечать на нём любые неотрицательные числа, включая нуль (0), натуральные числа (1, 2, 3, ...), положительные дробные числа (как 3,5 или 2/3) и положительные иррациональные числа. Отрицательные числа, такие как -2, на координатном луче не отмечаются, в отличие от координатной прямой, которая продолжается влево от нуля и позволяет отмечать отрицательные числа. Это ключевое отличие координатного луча от координатной прямой.

Пояснение:

Неверным утверждением о координатном луче является то, что координатный луч имеет конец. Координатный луч, как и математический луч в геометрии, имеет начало (точку с координатой 0), но не имеет конца — он простирается бесконечно вправо. Это позволяет отмечать на нём любые неотрицательные числа, сколь угодно большие. Остальные утверждения верны: координатный луч действительно имеет начало (точку с координатой 0), на нём можно отметить число 0 (это начало луча), и на нём можно отметить дробные числа (как положительные рациональные, так и иррациональные). Бесконечность координатного луча — важное свойство, которое позволяет использовать его как геометрическую модель множества всех неотрицательных чисел.

Пояснение:

Если точка A имеет координату 3, а точка C находится на 2 единичных отрезка правее точки A, то координата точки C равна 5. Чтобы найти координату точки C, нужно к координате точки A прибавить расстояние от A до C, выраженное в единичных отрезках. В данном случае: 3 + 2 = 5. Это означает, что точка C находится на расстоянии 5 единичных отрезков от начала координатного луча. На координатном луче, который направлен слева направо, движение вправо соответствует увеличению координаты. Поэтому, если от точки с координатой 3 двигаться на 2 единичных отрезка вправо, то мы придём к точке с координатой 5. Обратите внимание, что координата точки B (7) не влияет на решение этой задачи.

Пояснение:

Если точка P имеет координату 8, а точка R находится на 2 единичных отрезка левее точки P, то координата точки R равна 6. Чтобы найти координату точки R, нужно из координаты точки P вычесть расстояние от P до R, выраженное в единичных отрезках. В данном случае: 8 - 2 = 6. Это означает, что точка R находится на расстоянии 6 единичных отрезков от начала координатного луча. На координатном луче, который направлен слева направо, движение влево соответствует уменьшению координаты. Поэтому, если от точки с координатой 8 двигаться на 2 единичных отрезка влево, то мы придём к точке с координатой 6. Обратите внимание, что координата точки Q (3) не влияет на решение этой задачи.