Тест по математике: Основное свойство пропорции (6 класс)

Пояснение:

Основное свойство пропорции a:b = c:d утверждает, что произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть a × d = b × c. Это свойство следует из определения пропорции как равенства двух отношений: a/b = c/d. Умножив обе части этого равенства на b×d, получим a×d = b×c. Основное свойство пропорции широко используется при решении различных задач, в частности, при нахождении неизвестного члена пропорции и при проверке, образуют ли четыре числа пропорцию. Это одно из ключевых свойств в теории пропорций.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 8:12 = x:15 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 8 × 15 = 12 × x. Вычислим левую часть: 8 × 15 = 120. Тогда 120 = 12 × x, откуда x = 120 ÷ 12 = 10. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 8:12 = 10:15. Преобразуем дроби: 8/12 = 2/3 (сократив на 4) и 10/15 = 2/3 (сократив на 5). Действительно, 2/3 = 2/3, значит, пропорция верна и x = 10.

Пояснение:

Чтобы проверить, верна ли пропорция 15:20 = 30:40, используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Вычислим произведение крайних членов: 15 × 40 = 600. Вычислим произведение средних членов: 20 × 30 = 600. Так как 600 = 600, то основное свойство пропорции выполняется, и пропорция верна. Можно также сократить отношения: 15:20 = 3:4 (сократив на 5) и 30:40 = 3:4 (сократив на 10). Поскольку 3:4 = 3:4, то исходная пропорция верна. В этой пропорции числитель и знаменатель второго отношения получены умножением соответствующих членов первого отношения на 2.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 5:x = 20:28 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 5 × 28 = x × 20. Вычислим левую часть: 5 × 28 = 140. Тогда 140 = x × 20, откуда x = 140 ÷ 20 = 7. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 5:7 = 20:28. Преобразуем дроби: 5/7 и 20/28 = 5/7 (сократив на 4). Действительно, 5/7 = 5/7, значит, пропорция верна и x = 7. Другой способ решения: из равенства отношений 5/x = 20/28 следует, что x = (5 × 28) ÷ 20 = 140 ÷ 20 = 7.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 9:6 = x:8 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 9 × 8 = 6 × x. Вычислим левую часть: 9 × 8 = 72. Тогда 72 = 6 × x, откуда x = 72 ÷ 6 = 12. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 9:6 = 12:8. Преобразуем дроби: 9/6 = 3/2 (сократив на 3) и 12/8 = 3/2 (сократив на 4). Действительно, 3/2 = 3/2, значит, пропорция верна и x = 12. Другой способ решения: из равенства отношений 9/6 = x/8 следует, что x = (9 × 8) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12.

Пояснение:

Чтобы проверить, верна ли пропорция 2,5:3,5 = 5:7, используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Вычислим произведение крайних членов: 2,5 × 7 = 17,5. Вычислим произведение средних членов: 3,5 × 5 = 17,5. Так как 17,5 = 17,5, то основное свойство пропорции выполняется, и пропорция верна. Можно также заметить, что 2,5 = 5 ÷ 2 и 3,5 = 7 ÷ 2. То есть числитель и знаменатель первого отношения получены делением соответствующих членов второго отношения на 2. Поэтому отношения равны, и пропорция верна.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 14:x = 7:3 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 14 × 3 = x × 7. Вычислим левую часть: 14 × 3 = 42. Тогда 42 = x × 7, откуда x = 42 ÷ 7 = 6. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 14:6 = 7:3. Преобразуем дроби: 14/6 = 7/3 (сократив на 2). Действительно, 7/3 = 7/3, значит, пропорция верна и x = 6. Другой способ решения: из равенства отношений 14/x = 7/3 следует, что x = (14 × 3) ÷ 7 = 42 ÷ 7 = 6.

Пояснение:

Чтобы проверить, верна ли пропорция 3:5 = 9:16, используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Вычислим произведение крайних членов: 3 × 16 = 48. Вычислим произведение средних членов: 5 × 9 = 45. Так как 48 ≠ 45, то основное свойство пропорции не выполняется, и пропорция неверна. Можно также сравнить отношения в виде десятичных дробей: 3/5 = 0,6 и 9/16 = 0,5625. Поскольку 0,6 ≠ 0,5625, то отношения не равны, и пропорция не верна. Простая проверка показывает, что 9:15 = 3:5, но не 9:16.

Пояснение:

Если 4:7 = 12:21, то для нахождения (4 + 7):(12 + 21) вычислим сначала эту сумму: 4 + 7 = 11 и 12 + 21 = 33. Таким образом, искомое отношение равно 11:33. Это отношение можно сократить: 11:33 = 1:3 (разделив оба числа на 11). Другой способ решения: так как 4:7 = 12:21, то из свойств пропорции следует, что 4 = 12/3 и 7 = 21/3. Тогда (4 + 7):(12 + 21) = (12/3 + 21/3):(12 + 21) = (12 + 21)/3:(12 + 21) = 1:3 = 11:33. Таким образом, ответ 11:33 верен.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 2,4:3 = x:10 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 2,4 × 10 = 3 × x. Вычислим левую часть: 2,4 × 10 = 24. Тогда 24 = 3 × x, откуда x = 24 ÷ 3 = 8. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 2,4:3 = 8:10. Преобразуем дроби: 2,4/3 = 0,8 и 8/10 = 0,8. Действительно, 0,8 = 0,8, значит, пропорция верна и x = 8. Другой способ решения: из равенства отношений 2,4/3 = x/10 следует, что x = (2,4 × 10) ÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8.

Пояснение:

Если a:b = c:d, то по основному свойству пропорции a × d = b × c. Поэтому (a × d):(b × c) = 1, так как делим равные величины. Другой способ рассуждения: из равенства a/b = c/d следует, что a/b × d/c = 1, то есть (a × d)/(b × c) = 1. Таким образом, отношение (a × d):(b × c) равно 1. Это одно из полезных следствий из основного свойства пропорции, которое может упростить решение некоторых задач, связанных с пропорциями. Например, если известно, что a:b = c:d, то можно сразу утверждать, что (a × d):(b × c) = 1.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции x:8 = 15:20 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: x × 20 = 8 × 15. Вычислим правую часть: 8 × 15 = 120. Тогда x × 20 = 120, откуда x = 120 ÷ 20 = 6. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 6:8 = 15:20. Преобразуем дроби: 6/8 = 3/4 (сократив на 2) и 15/20 = 3/4 (сократив на 5). Действительно, 3/4 = 3/4, значит, пропорция верна и x = 6. Другой способ решения: из равенства отношений x/8 = 15/20 следует, что x = (8 × 15) ÷ 20 = 120 ÷ 20 = 6.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 6:x = 15:25 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 6 × 25 = x × 15. Вычислим левую часть: 6 × 25 = 150. Тогда 150 = x × 15, откуда x = 150 ÷ 15 = 10. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 6:10 = 15:25. Преобразуем дроби: 6/10 = 3/5 (сократив на 2) и 15/25 = 3/5 (сократив на 5). Действительно, 3/5 = 3/5, значит, пропорция верна и x = 10. Другой способ решения: из равенства отношений 6/x = 15/25 следует, что x = (6 × 25) ÷ 15 = 150 ÷ 15 = 10.

Пояснение:

Это задача на прямую пропорциональность: при постоянной скорости пройденное расстояние прямо пропорционально времени движения. Составим пропорцию: 3 часа : 240 км = 5 часов : x км, где x — искомое расстояние. Но в данной записи нарушен порядок членов пропорции. Правильная запись: 3 часа : 5 часов = 240 км : x км, или 240 км : x км = 3 часа : 5 часов. По основному свойству пропорции: 240 × 5 = 3 × x. Отсюда: x = (240 × 5) ÷ 3 = 1200 ÷ 3 = 400 км. Другой способ решения: найдем скорость автомобиля: 240 км ÷ 3 часа = 80 км/ч. Затем найдем расстояние: 80 км/ч × 5 часов = 400 км.

Пояснение:

Это задача на обратную пропорциональность: чем больше комбайнов, тем меньше времени требуется для уборки урожая. Составим пропорцию. Пусть x — время, требуемое 3 комбайнам для уборки урожая. Тогда имеем: 2 комбайна × 6 дней = 3 комбайна × x дней (произведение числа комбайнов на время работы есть величина постоянная для данного объема работы). Отсюда: x = (2 × 6) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4 дня. Другой способ решения: 2 комбайна за 1 день убирают 150 га ÷ 6 дней = 25 га. 3 комбайна за 1 день уберут 25 га × (3/2) = 37,5 га. Тогда время, необходимое для уборки всего поля: 150 га ÷ 37,5 га/день = 4 дня.

Пояснение:

Для нахождения значения x в пропорции 3:4 = 9:x используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 3 × x = 4 × 9. Вычислим правую часть: 4 × 9 = 36. Тогда 3 × x = 36, откуда x = 36 ÷ 3 = 12. Проверим полученный результат, подставив значение x в исходную пропорцию: 3:4 = 9:12. Преобразуем дроби: 3/4 и 9/12 = 3/4 (сократив на 3). Действительно, 3/4 = 3/4, значит, пропорция верна и x = 12. Другой способ решения: из равенства отношений 3/4 = 9/x следует, что x = (4 × 9) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12.

Пояснение:

Эта задача основана на подобии треугольников и пропорциональности соответствующих сторон. При одинаковом освещении отношение высоты объекта к длине его тени одинаково для всех объектов. Составим пропорцию: 15 м : 6 м = x м : 4 м, где x — искомая высота столба. По основному свойству пропорции: 15 × 4 = 6 × x. Отсюда: x = (15 × 4) ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10 м. Другой способ решения: найдем отношение высоты дерева к длине его тени: 15 м ÷ 6 м = 2,5. Значит, высота столба равна 2,5 × 4 м = 10 м. Таким образом, высота столба составляет 10 метров.

Пояснение:

Это задача на прямую пропорциональность: чем больше порций, тем больше требуется продукта. Составим пропорцию: 4 порции : 300 г = 6 порций : x г, где x — искомое количество продукта. По основному свойству пропорции: 4 × x = 6 × 300. Отсюда: x = (6 × 300) ÷ 4 = 1800 ÷ 4 = 450 г. Другой способ решения: найдем, сколько продукта требуется на одну порцию: 300 г ÷ 4 = 75 г. Затем найдем количество продукта для 6 порций: 75 г × 6 = 450 г. Таким образом, для приготовления 6 порций блюда требуется 450 грамм продукта. Это соответствует увеличению количества порций в 1,5 раза, поэтому и количество продукта увеличилось в 1,5 раза.

Пояснение:

В этой задаче нужно учесть, что поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Обозначим время до встречи за t часов. За это время первый поезд пройдет расстояние 60 км/ч × t = 60t км, а второй поезд пройдет расстояние 40 км/ч × t = 40t км. По условию, сумма пройденных расстояний равна 400 км, то есть 60t + 40t = 400, откуда 100t = 400, t = 4 часа. Другой способ решения: найдем, за какое время будет пройдено все расстояние при суммарной скорости поездов 60 км/ч + 40 км/ч = 100 км/ч. Получаем: 400 км ÷ 100 км/ч = 4 часа. Таким образом, поезда встретятся через 4 часа.

Пояснение:

Масштаб карты 1:100000 означает, что 1 см на карте соответствует 100000 см на местности, или 1 км (так как 100000 см = 1000 м = 1 км). Составим пропорцию: 1 см : 1 км = 6 см : x км, где x — искомое реальное расстояние. По основному свойству пропорции: 1 × x = 6 × 1. Отсюда: x = 6 км. Другой способ решения: если 1 см на карте соответствует 1 км на местности, то 6 см будут соответствовать 6 × 1 км = 6 км. Таким образом, реальное расстояние между населенными пунктами составляет 6 километров. Это можно также получить, умножив расстояние на карте на числовой масштаб: 6 см × 100000 = 600000 см = 6 км.