Тест по математике: Прямоугольный параллелепипед (5 класс)

Пояснение:

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все шесть граней являются прямоугольниками. Каждая грань параллельна противоположной грани. У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер. Противоположные грани равны между собой. Все углы между смежными гранями прямые (90°). Прямоугольный параллелепипед является частным случаем параллелепипеда, у которого все двугранные углы прямые. Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны между собой.

Пояснение:

У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, и все они имеют форму прямоугольников. Эти 6 граней расположены парами: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. Грани в каждой паре параллельны и равны друг другу. Каждая грань параллелепипеда граничит с четырьмя другими гранями. Шесть прямоугольных граней полностью ограничивают прямоугольный параллелепипед в пространстве. Знание количества граней важно для вычисления площади поверхности параллелепипеда и понимания его структуры.

Пояснение:

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин. Вершина – это точка, в которой сходятся три ребра под прямым углом друг к другу. В каждой вершине параллелепипеда сходятся по три грани. Эти восемь вершин можно представить как углы комнаты или коробки. Если рассматривать прямоугольный параллелепипед в системе координат, расположив его так, чтобы одна из вершин находилась в начале координат, а ребра были направлены вдоль осей координат, то координаты вершин будут (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c), (a,b,0), (a,0,c), (0,b,c), (a,b,c), где a, b и c – длины ребер.

Пояснение:

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. Ребро – это отрезок, по которому соединяются две грани. Ребра параллелепипеда можно разделить на три группы по 4 ребра в каждой: 4 ребра идут вдоль длины, 4 ребра – вдоль ширины и 4 ребра – вдоль высоты параллелепипеда. Ребра в каждой группе параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Каждое ребро соединяет две вершины и является общим для двух граней. Знание количества ребер и их расположения помогает правильно визуализировать прямоугольный параллелепипед и вычислять его различные характеристики.

Пояснение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = abc, где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда (длина, ширина и высота). Эта формула выражает тот факт, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений. Физически это означает, сколько кубических единиц (например, кубических сантиметров) помещается внутри параллелепипеда. Формулу можно также понимать как произведение площади основания (a×b) на высоту (c). В случае куба, когда a = b = c, формула упрощается до V = a³. Понимание этой формулы важно для решения практических задач, связанных с объемами контейнеров, комнат и других объектов прямоугольной формы.

Пояснение:

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Куб имеет 6 граней, и все они являются квадратами (частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны). У куба все 12 ребер имеют одинаковую длину. Если обозначить длину ребра куба как a, то его объем вычисляется по формуле V = a³, а площадь поверхности – по формуле S = 6a². Куб является одним из пяти правильных многогранников (платоновых тел). В кубе все углы прямые (90°), а все грани и все вершины одинаковы. Куб обладает высокой степенью симметрии, что делает его важным объектом в геометрии, архитектуре и дизайне.

Пояснение:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле S = 2(ab + bc + ac), где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда (длина, ширина и высота). Эта формула получается из сложения площадей всех шести граней параллелепипеда. Поскольку противоположные грани равны, можно сгруппировать их в три пары: две грани с размерами a×b, две грани с размерами b×c и две грани с размерами a×c. Умножение на 2 в формуле отражает тот факт, что каждый тип грани встречается дважды. В случае куба, когда a = b = c, формула упрощается до S = 6a². Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, например, в квадратных сантиметрах.

Пояснение:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные вершины (вершины, не имеющие общих ребер). В прямоугольном параллелепипеде существует 4 таких диагонали, и все они пересекаются в одной точке – центре параллелепипеда. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c вычисляется по формуле d = √(a² + b² + c²), которая следует из теоремы Пифагора, примененной в трехмерном пространстве. Диагональ соединяет наиболее удаленные друг от друга точки параллелепипеда. Знание диагонали важно для решения различных геометрических задач, особенно связанных с упаковкой и размещением объектов.

Пояснение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = abc, где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда. Подставляя данные значения a = 3 см, b = 4 см и c = 5 см, получаем: V = 3 см × 4 см × 5 см = 60 см³. Это означает, что внутри данного прямоугольного параллелепипеда помещается 60 кубиков с ребром 1 см. Объем измеряется в кубических единицах. Понимание формулы объема и умение применять ее важны для решения практических задач, связанных с вычислением вместимости контейнеров, объема материалов и т.д. Знание объема также позволяет определить массу тела, если известна его плотность.

Пояснение:

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле S = 6a², где a – длина ребра куба. Поскольку куб имеет 6 граней, и все они являются квадратами со стороной a, общая площадь поверхности равна сумме площадей всех граней: 6 × a². Подставляя значение a = 5 см, получаем: S = 6 × 5² см² = 6 × 25 см² = 150 см². Это означает, что для оклейки такого куба бумагой потребуется 150 квадратных сантиметров материала. Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах. Важно понимать разницу между объемом, который измеряется в кубических единицах (например, 125 см³), и площадью поверхности, которая измеряется в квадратных единицах (150 см²).

Пояснение:

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле d = √(a² + b² + c²), где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда. Подставляя данные значения a = 3 см, b = 4 см и c = 12 см, получаем: d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 см. Эта формула является трехмерным аналогом теоремы Пифагора. Можно также рассуждать поэтапно: сначала найти диагональ прямоугольника в основании (√(a² + b²)) и затем применить теорему Пифагора к треугольнику, образованному этой диагональю и высотой параллелепипеда. Длина диагонали показывает наибольшее расстояние между точками параллелепипеда.

Пояснение:

Куб – это единственная фигура среди перечисленных, у которой все грани являются квадратами. Куб имеет 6 граней, и все они – равные квадраты. У произвольного прямоугольного параллелепипеда грани – прямоугольники, которые могут быть не квадратами. У треугольной призмы два основания – треугольники, а боковые грани – прямоугольники. Прямоугольник – это плоская фигура, а не трехмерное тело, поэтому у него нет граней. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения равны между собой. Благодаря тому, что все грани куба – квадраты, все его 12 ребер имеют одинаковую длину, а все 8 вершин идентичны.

Пояснение:

Форму, близкую к прямоугольному параллелепипеду, имеют многие предметы с прямыми углами и плоскими прямоугольными гранями. Книги, холодильники и коробки для обуви являются хорошими примерами таких предметов. Они имеют шесть прямоугольных граней, расположенных под прямыми углами друг к другу. Мяч, апельсин и яблоко имеют форму, близкую к шару. Воронка, рожок мороженого и морковь имеют форму, близкую к конусу. Труба, трубочка для коктейля и бочка имеют форму, близкую к цилиндру. Узнавание геометрических форм в окружающих предметах помогает лучше понимать геометрию и применять ее в повседневной жизни.

Пояснение:

Для разрезания прямоугольного параллелепипеда на равные кубы нужно найти наибольшую длину ребра куба, которая будет делителем всех трех измерений параллелепипеда. Для параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см и 6 см наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Поэтому параллелепипед можно разрезать на кубы с ребром 1 см. Количество таких кубов будет равно объему параллелепипеда, выраженному в кубических сантиметрах: V = 4 см × 3 см × 6 см = 72 см³. Таким образом, параллелепипед можно разрезать на 72 куба с ребром 1 см. Каждый куб занимает объем 1 см³, и вместе они составляют весь объем параллелепипеда.

Пояснение:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле S = 2(ab + bc + ac), где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда. Подставляя данные значения a = 2 см, b = 4 см и c = 3 см, получаем: S = 2(2×4 + 4×3 + 2×3) = 2(8 + 12 + 6) = 2×26 = 52 см². Можно также рассуждать, складывая площади всех шести граней: две грани 2×4 см (передняя и задняя), две грани 2×3 см (левая и правая) и две грани 4×3 см (верхняя и нижняя). Общая площадь: 2×(2×4) + 2×(2×3) + 2×(4×3) = 2×8 + 2×6 + 2×12 = 16 + 12 + 24 = 52 см². Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах.

Пояснение:

Объем куба вычисляется по формуле V = a³, где a – длина ребра куба. Если объем куба V = 27 см³, то для нахождения длины ребра нужно извлечь кубический корень из объема: a = ∛V = ∛27 = 3 см. Это можно проверить, вычислив объем куба с ребром 3 см: V = 3³ = 27 см³. Знание формулы объема куба и умение выполнять обратные вычисления важны для решения практических задач. Кубический корень из 27 равен 3, потому что 3×3×3 = 27. Куб с ребром 3 см имеет 6 граней площадью 9 см² каждая, 12 ребер длиной 3 см каждое и 8 вершин.

Пояснение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = abc, где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда. Если все измерения увеличить в 2 раза, то новые измерения будут равны 2a, 2b и 2c. Новый объем будет равен V' = 2a × 2b × 2c = 8abc = 8V. Таким образом, объем увеличится в 8 раз. Это объясняется тем, что объем трехмерного тела пропорционален кубу линейных размеров. При увеличении всех линейных размеров в k раз объем увеличивается в k³ раз. В данном случае k = 2, поэтому объем увеличивается в 2³ = 8 раз. Это важное свойство масштабирования объемных объектов.

Пояснение:

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле S = 6a², где a – длина ребра куба. Если длину ребра увеличить в 2 раза до 2a, то новая площадь поверхности будет равна S' = 6(2a)² = 6 × 4a² = 24a² = 4 × 6a² = 4S. Таким образом, площадь поверхности увеличится в 4 раза. Это объясняется тем, что площадь поверхности пропорциональна квадрату линейных размеров. При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь поверхности увеличивается в k² раз. В данном случае k = 2, поэтому площадь поверхности увеличивается в 2² = 4 раза. Это свойство масштабирования площадей важно понимать при решении практических задач.

Пояснение:

Объем прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле V = S × h, где S – площадь основания, а h – высота параллелепипеда. Подставляя данные значения S = 15 см² и h = 6 см, получаем: V = 15 см² × 6 см = 90 см³. Этот результат можно также получить, используя стандартную формулу объема V = abc, где a и b – стороны основания, а c – высота. Так как площадь основания S = ab = 15 см², а высота c = 6 см, получаем V = abc = (ab)c = 15 см² × 6 см = 90 см³. Объем параллелепипеда показывает, сколько кубических единиц (в данном случае, кубических сантиметров) помещается внутри этого тела.

Пояснение:

Для нахождения объема воды в аквариуме нужно вычислить объем прямоугольного параллелепипеда. Объем вычисляется по формуле V = abc, где a, b и c – длины трех измерений параллелепипеда. Подставляя данные значения a = 50 см, b = 30 см и c = 40 см, получаем: V = 50 см × 30 см × 40 см = 60000 см³. Поскольку 1 литр = 1000 см³, получаем: V = 60000 см³ ÷ 1000 = 60 литров. Таким образом, в аквариум входит 60 литров воды. Это важный пример практического применения формулы объема прямоугольного параллелепипеда. При решении таких задач важно помнить о правильном переводе единиц измерения.