Тест по математике: Пропорция (6 класс)

Пояснение:

Пропорция — это равенство двух отношений, записываемое в виде a:b = c:d или a/b = c/d, где b ≠ 0 и d ≠ 0. Например, 4:8 = 5:10 — это пропорция, так как 4/8 = 1/2 и 5/10 = 1/2. Пропорции широко используются при решении различных задач на проценты, масштаб, прямую и обратную пропорциональность. Важное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть a×d = b×c. Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции.

Пояснение:

Пропорция — это равенство двух отношений. Проверим каждую запись. 5+7 = 6+6 ⟹ 12 = 12. Это верное равенство, но не пропорция, так как здесь нет отношений. 8:4 = 10:5 ⟹ 8/4 = 10/5 ⟹ 2 = 2. Это пропорция, так как здесь равны два отношения. 3×2 = 12÷2 ⟹ 6 = 6. Это верное равенство, но не пропорция. 9-5 = 7-3 ⟹ 4 = 4. Это верное равенство, но не пропорция. Таким образом, только запись 8:4 = 10:5 является пропорцией, так как представляет собой равенство двух отношений.

Пояснение:

Основное свойство пропорции a:b = c:d (или a/b = c/d) заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть a × d = b × c. Это свойство следует из равенства дробей a/b = c/d, умножив обе части которого на b×d, получим a×d = b×c. Например, в пропорции 4:5 = 12:15 произведение крайних членов 4×15 = 60 равно произведению средних членов 5×12 = 60. Основное свойство пропорции широко используется для нахождения неизвестного члена пропорции и решения различных задач на пропорциональность.

Пояснение:

Проверим, является ли равенство 4:9 = 8:18 пропорцией, используя основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Найдем произведение крайних членов: 4 × 18 = 72. Найдем произведение средних членов: 9 × 8 = 72. Так как 72 = 72, то основное свойство пропорции выполняется. Другой способ проверки: сократим отношения и сравним их. 4:9 = 4/9, а 8:18 = 8/18 = 4/9 (после сокращения на 2). Так как 4/9 = 4/9, то пропорция верна.

Пояснение:

Проверим, является ли равенство 5:12 = 15:36 пропорцией, используя основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Найдем произведение крайних членов: 5 × 36 = 180. Найдем произведение средних членов: 12 × 15 = 180. Так как 180 = 180, то основное свойство пропорции выполняется. Другой способ проверки: сократим отношения и сравним их. 5:12 = 5/12, а 15:36 = 15/36 = 5/12 (после сокращения на 3). Так как 5/12 = 5/12, то пропорция верна. Это означает, что отношения 5:12 и 15:36 равны.

Пояснение:

Для нахождения неизвестного члена пропорции x:6 = 8:12 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: x × 12 = 6 × 8. Отсюда: x × 12 = 48, x = 48 ÷ 12 = 4. Другой способ решения: пропорция x:6 = 8:12 означает равенство отношений x/6 = 8/12. Упростим второе отношение: 8/12 = 2/3 (после сокращения на 4). Получаем: x/6 = 2/3. Отсюда: x = 6 × (2/3) = 4. Проверка: 4:6 = 8:12, так как 4/6 = 2/3 и 8/12 = 2/3.

Пояснение:

Для нахождения неизвестного члена пропорции 15:x = 9:6 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 15 × 6 = x × 9. Отсюда: 90 = 9x, x = 90 ÷ 9 = 10. Другой способ решения: преобразуем отношения в дроби, получим 15/x = 9/6. По свойству равенства дробей: 15 × 6 = x × 9, откуда x = (15 × 6) ÷ 9 = 90 ÷ 9 = 10. Проверка: 15:10 = 9:6, так как 15/10 = 1,5 и 9/6 = 1,5. Наблюдаем, что пропорция верна.

Пояснение:

Для нахождения неизвестного члена пропорции 7:4 = x:16 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 7 × 16 = 4 × x. Отсюда: 112 = 4x, x = 112 ÷ 4 = 28. Другой способ решения: из пропорции 7:4 = x:16 следует, что x/16 = 7/4. Отсюда: x = 16 × (7/4) = 16 × 1,75 = 28. Проверка: 7:4 = 28:16, так как 7/4 = 1,75 и 28/16 = 1,75. Подставив найденное значение x = 28 в исходную пропорцию, убеждаемся, что она верна.

Пояснение:

Для нахождения неизвестного члена пропорции 5:x = 15:12 используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 5 × 12 = x × 15. Отсюда: 60 = 15x, x = 60 ÷ 15 = 4. Другой способ решения: пропорция 5:x = 15:12 означает равенство отношений 5/x = 15/12. Упростим второе отношение: 15/12 = 5/4 (после сокращения на 3). Получаем: 5/x = 5/4, откуда x = 4. Проверка: 5:4 = 15:12, так как 5/4 = 1,25 и 15/12 = 1,25. Таким образом, неизвестный член пропорции x = 4.

Пояснение:

Для нахождения неизвестного члена пропорции 3:8 = 6:x используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем: 3 × x = 8 × 6. Отсюда: 3x = 48, x = 48 ÷ 3 = 16. Другой способ решения: пропорция 3:8 = 6:x означает, что отношения 3/8 и 6/x равны. Заметим, что 6 = 3 × 2, значит, чтобы отношения были равны, нужно x = 8 × 2 = 16. Проверка: 3:8 = 6:16, так как 3/8 = 0,375 и 6/16 = 0,375. Следовательно, x = 16 является решением исходной пропорции.

Пояснение:

Рассмотрим пропорцию a:b = c:d, или в виде дробей a/b = c/d. Это означает, что отношение a к b равно отношению c к d. Из равенства дробей a/b = c/d можно получить: a/c = b/d. Действительно, разделим обе части равенства a/b = c/d на c/b: (a/b)÷(c/b) = (c/d)÷(c/b), что даёт a/c = b/d. Таким образом, из пропорции a:b = c:d следует, что a:c = b:d. Это свойство называется перестановкой крайних и средних членов пропорции и часто используется при решении задач, связанных с пропорциями и пропорциональностью.

Пояснение:

Рассмотрим пропорцию a:b = c:d, или a/b = c/d. По основному свойству пропорции a×d = b×c. Проверим, верно ли, что (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d). Умножим обе части на (a-b)×(c-d): (a+b)×(c-d) = (c+d)×(a-b). Раскроем скобки: (a+b)×(c-d) = ac-ad+bc-bd, а (c+d)×(a-b) = ac-bc+ad-bd. Видим, что ac-ad+bc-bd = ac-bc+ad-bd, так как из a×d = b×c следует, что -ad+bc = -bc+ad. Таким образом, равенство (a+b):(a-b) = (c+d):(c-d) верно, при условии, что a≠b и c≠d, чтобы знаменатели не были равны нулю.

Пояснение:

Поскольку поезд движется с постоянной скоростью, то пройденное расстояние прямо пропорционально времени движения. Составим пропорцию: 4 часа:300 км = 7 часов:x км, где x — искомое расстояние. Используя основное свойство пропорции, получаем: 4 × x = 7 × 300. Отсюда: x = (7 × 300) ÷ 4 = 2100 ÷ 4 = 525 км. Другой способ решения: найдем скорость поезда: 300 км ÷ 4 часа = 75 км/ч. Затем найдем расстояние, которое поезд пройдет за 7 часов: 75 км/ч × 7 часов = 525 км. Таким образом, за 7 часов поезд пройдет 525 км.

Пояснение:

В данной задаче количество рабочих и время выполнения задания обратно пропорциональны: чем больше рабочих, тем меньше времени требуется на выполнение задания. Составим пропорцию: 5 рабочих:12 дней = 10 рабочих:x дней, где x — искомое время. Но поскольку зависимость обратная, то правильная пропорция будет: 5 рабочих × 12 дней = 10 рабочих × x дней (количество рабочих, умноженное на время, есть величина постоянная). Отсюда: x = (5 × 12) ÷ 10 = 60 ÷ 10 = 6 дней. Другой способ решения: сколько всего человеко-дней нужно для выполнения задания? 5 × 12 = 60. За сколько дней выполнят задание 10 человек? 60 ÷ 10 = 6 дней.

Пояснение:

В данной задаче количество деталей и количество необходимого металла прямо пропорциональны: чем больше деталей, тем больше требуется металла. Составим пропорцию: 8 деталей:12 кг = 15 деталей:x кг, где x — искомое количество металла. Используя основное свойство пропорции, получаем: 8 × x = 15 × 12. Отсюда: x = (15 × 12) ÷ 8 = 180 ÷ 8 = 22,5 кг. Другой способ решения: найдем, сколько металла требуется на одну деталь: 12 кг ÷ 8 деталей = 1,5 кг. Затем найдем количество металла для 15 деталей: 1,5 кг × 15 = 22,5 кг. Таким образом, для изготовления 15 деталей потребуется 22,5 кг металла.

Пояснение:

В данной задаче количество ягод и количество необходимого сахара прямо пропорциональны: чем больше ягод, тем больше требуется сахара. Составим пропорцию: 2 кг ягод:1,5 кг сахара = 5 кг ягод:x кг сахара, где x — искомое количество сахара. Используя основное свойство пропорции, получаем: 2 × x = 5 × 1,5. Отсюда: x = (5 × 1,5) ÷ 2 = 7,5 ÷ 2 = 3,75 кг. Другой способ решения: найдем, сколько сахара требуется на 1 кг ягод: 1,5 кг ÷ 2 кг = 0,75 кг. Затем найдем количество сахара для 5 кг ягод: 0,75 кг × 5 = 3,75 кг. Таким образом, для приготовления варенья из 5 кг ягод потребуется 3,75 кг сахара.

Пояснение:

В данной задаче расстояние, пройденное самолетом, прямо пропорционально времени полета при постоянной скорости. Составим пропорцию: 1,2 часа:1020 км = 2 часа:x км, где x — искомое расстояние. Используя основное свойство пропорции, получаем: 1,2 × x = 2 × 1020. Отсюда: x = (2 × 1020) ÷ 1,2 = 2040 ÷ 1,2 = 1700 км. Другой способ решения: найдем скорость самолета: 1020 км ÷ 1,2 часа = 850 км/ч. Затем найдем расстояние, которое самолет пролетит за 2 часа: 850 км/ч × 2 часа = 1700 км. Таким образом, за 2 часа самолет пролетит 1700 км.

Пояснение:

В данной задаче площадь стены и необходимое количество штукатурной смеси прямо пропорциональны: чем больше площадь, тем больше требуется смеси. Составим пропорцию: 12 м²:42 кг = 20 м²:x кг, где x — искомое количество смеси. Используя основное свойство пропорции, получаем: 12 × x = 20 × 42. Отсюда: x = (20 × 42) ÷ 12 = 840 ÷ 12 = 70 кг. Другой способ решения: найдем, сколько смеси требуется на 1 м²: 42 кг ÷ 12 м² = 3,5 кг/м². Затем найдем количество смеси для 20 м²: 3,5 кг/м² × 20 м² = 70 кг. Таким образом, для оштукатуривания стены площадью 20 м² потребуется 70 кг смеси.

Пояснение:

Масштаб карты 1:1000000 означает, что 1 см на карте соответствует 1000000 см на местности, или 10 км (так как 1000000 см = 10 км). Составим пропорцию: 1 см:10 км = 5 см:x км, где x — искомое реальное расстояние. Используя основное свойство пропорции, получаем: 1 × x = 5 × 10. Отсюда: x = 5 × 10 = 50 км. Другой способ решения: если 1 см на карте соответствует 10 км на местности, то 5 см будут соответствовать 5 × 10 км = 50 км. Таким образом, реальное расстояние между городами составляет 50 км. Это можно также получить, умножив расстояние на карте на числовой масштаб: 5 см × 1000000 = 5000000 см = 50 км.

Пояснение:

Для решения задачи можно составить пропорцию. Если весь картофель составляет 100%, то высший сорт составляет 40%. Составим пропорцию: 100%:30 кг = 40%:x кг, где x — искомая масса картофеля высшего сорта. Используя основное свойство пропорции, получаем: 100 × x = 40 × 30. Отсюда: x = (40 × 30) ÷ 100 = 1200 ÷ 100 = 12 кг. Другой способ решения: найдем, какую часть от всего картофеля составляет высший сорт: 40% = 0,4. Затем найдем массу картофеля высшего сорта: 30 кг × 0,4 = 12 кг. Таким образом, в мешке содержится 12 кг картофеля высшего сорта, а остальные 18 кг — картофель первого сорта.