Тест по математике: Прямая и обратная пропорциональность (6 класс)

Пояснение:

Две величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной величины в несколько раз другая величина изменяется во столько же раз и в том же направлении (то есть обе либо увеличиваются, либо уменьшаются). Математически это означает, что отношение соответствующих значений этих величин постоянно: y/x = k, где k — коэффициент прямой пропорциональности. Примеры прямо пропорциональных величин: скорость и пройденное расстояние при постоянном времени; стоимость товара и его количество при фиксированной цене за единицу; длина окружности и ее радиус.

Пояснение:

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз (и наоборот). Математически это означает, что произведение соответствующих значений этих величин постоянно: x × y = k, где k — коэффициент обратной пропорциональности. Другой способ записи: y = k/x. Примеры обратно пропорциональных величин: скорость и время при постоянном расстоянии; количество работников и время выполнения работы при постоянном объеме работы; давление и объем газа при постоянной температуре.

Пояснение:

Если y прямо пропорционально x, то связь между ними выражается формулой y = k × x, где k — коэффициент прямой пропорциональности. Подставим известные значения: 8 = k × 4. Отсюда находим k = 8 ÷ 4 = 2. Проверим: при x = 4 получаем y = 2 × 4 = 8, что соответствует условию задачи. Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз изменяется величина y при изменении величины x в 1 раз. В данном случае, если x увеличить на 1, то y увеличится на 2. Например, при x = 5 будет y = 2 × 5 = 10.

Пояснение:

Если y обратно пропорционально x, то связь между ними выражается формулой y = k ÷ x или x × y = k, где k — коэффициент обратной пропорциональности. Подставим известные значения: 12 = k ÷ 3 или 3 × 12 = k. Отсюда находим k = 3 × 12 = 36. Проверим: при x = 3 получаем y = 36 ÷ 3 = 12, что соответствует условию задачи. Коэффициент пропорциональности в данном случае показывает произведение соответствующих значений x и y. Например, при x = 4 будет y = 36 ÷ 4 = 9, а при x = 6 будет y = 36 ÷ 6 = 6.

Пояснение:

Величины x и y связаны формулой y = 5x, значит, они прямо пропорциональны с коэффициентом пропорциональности 5. При прямой пропорциональности, если одна величина изменяется в некоторое число раз, то и другая величина изменяется во столько же раз и в том же направлении. Пусть первоначальное значение x равно a, тогда y = 5a. После увеличения x в 3 раза новое значение x станет равным 3a, а новое значение y будет равно 5 × (3a) = 15a, что в 3 раза больше первоначального значения y = 5a. Таким образом, при увеличении x в 3 раза значение y также увеличится в 3 раза.

Пояснение:

Величины x и y связаны формулой y = 10/x, значит, они обратно пропорциональны с коэффициентом пропорциональности 10. При обратной пропорциональности, если одна величина увеличивается в некоторое число раз, то другая величина уменьшается во столько же раз. Пусть первоначальное значение x равно a, тогда y = 10/a. После увеличения x в 2 раза новое значение x станет равным 2a, а новое значение y будет равно 10 ÷ (2a) = 10/2a = 5/a, что в 2 раза меньше первоначального значения y = 10/a. Таким образом, при увеличении x в 2 раза значение y уменьшится в 2 раза.

Пояснение:

Это задача на прямую пропорциональность, так как при постоянной скорости пройденное расстояние прямо пропорционально времени движения. Составим пропорцию: 3 часа : 240 км = 5 часов : x км, где x — искомое расстояние. Из пропорции получаем: x = (240 × 5) ÷ 3 = 1200 ÷ 3 = 400 км. Другой способ решения: найдем скорость автомобиля: 240 км ÷ 3 часа = 80 км/ч. Затем найдем расстояние, пройденное за 5 часов: 80 км/ч × 5 часов = 400 км. Таким образом, за 5 часов автомобиль проедет 400 км. Это подтверждает прямую пропорциональность: время движения увеличилось в 5/3 раза, и пройденное расстояние также увеличилось в 5/3 раза.

Пояснение:

Это задача на обратную пропорциональность: чем больше насосов, тем меньше времени требуется для откачки воды. Составим пропорцию: 6 насосов × 10 часов = 15 насосов × x часов (произведение числа насосов на время работы есть величина постоянная для данного объема работы). Отсюда: x = (6 × 10) ÷ 15 = 60 ÷ 15 = 4 часа. Другой способ решения: 6 насосов откачивают 1/10 часть котлована за 1 час. 15 насосов откачают за 1 час 15/6 × (1/10) = 15/60 = 1/4 часть котлована. Тогда для откачки всего котлована потребуется 1 ÷ (1/4) = 4 часа. Таким образом, 15 насосов откачают воду из котлована за 4 часа.

Пояснение:

Скорость и время движения при постоянном расстоянии обратно пропорциональны: чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния, и наоборот. Найдем расстояние между городами: 90 км/ч × 4 часа = 360 км. Введем обозначение x для искомого времени. Составим пропорцию: 90 км/ч × 4 часа = 60 км/ч × x часов (произведение скорости на время при постоянном расстоянии есть величина постоянная). Отсюда: x = (90 × 4) ÷ 60 = 360 ÷ 60 = 6 часов. Другой способ решения: при уменьшении скорости в 90/60 = 3/2 = 1,5 раза время увеличится во столько же раз: 4 часа × 1,5 = 6 часов.

Пояснение:

Количество порций и количество продукта прямо пропорциональны: чем больше порций, тем больше требуется продукта. Составим пропорцию: 8 порций : 600 г = 12 порций : x г, где x — искомое количество продукта. Из пропорции получаем: x = (600 × 12) ÷ 8 = 7200 ÷ 8 = 900 г. Другой способ решения: найдем, сколько продукта требуется на одну порцию: 600 г ÷ 8 = 75 г. Затем найдем количество продукта для 12 порций: 75 г × 12 = 900 г. Таким образом, для приготовления 12 порций блюда потребуется 900 граммов продукта. Это соответствует увеличению количества порций в 1,5 раза (с 8 до 12), поэтому и количество продукта увеличилось в 1,5 раза (с 600 до 900).

Пояснение:

Количество рабочих и время выполнения задания обратно пропорциональны: чем больше рабочих, тем меньше времени требуется на выполнение задания. Составим пропорцию: 5 рабочих × 12 дней = 10 рабочих × x дней (произведение числа рабочих на время работы есть величина постоянная для данного объема работы). Отсюда: x = (5 × 12) ÷ 10 = 60 ÷ 10 = 6 дней. Другой способ решения: 5 рабочих выполняют 1/12 часть задания за 1 день. 10 рабочих выполнят за 1 день 10/5 × (1/12) = 10/60 = 1/6 часть задания. Тогда для выполнения всего задания потребуется 1 ÷ (1/6) = 6 дней. Таким образом, 10 рабочих выполнят задание за 6 дней.

Пояснение:

Скорость и пройденное расстояние при постоянном времени прямо пропорциональны. По формуле S = v × t, где S — расстояние, v — скорость, t — время, найдем расстояние, которое проедет велосипедист: S = 15 км/ч × 3,5 ч = 52,5 км. Это пример прямой пропорциональности: расстояние прямо пропорционально времени при постоянной скорости. Если время увеличить в 2 раза, то и пройденное расстояние увеличится в 2 раза. Например, за 7 часов велосипедист проедет 15 км/ч × 7 ч = 105 км, что в 2 раза больше расстояния, пройденного за 3,5 часа.

Пояснение:

Количество деталей и количество необходимого металла прямо пропорциональны: чем больше деталей, тем больше требуется металла. Составим пропорцию: 9 деталей : 36 кг = 15 деталей : x кг, где x — искомое количество металла. Из пропорции получаем: x = (36 × 15) ÷ 9 = 540 ÷ 9 = 60 кг. Другой способ решения: найдем, сколько металла требуется на одну деталь: 36 кг ÷ 9 = 4 кг. Затем найдем количество металла для 15 деталей: 4 кг × 15 = 60 кг. Таким образом, для изготовления 15 деталей потребуется 60 кг металла. Это соответствует увеличению количества деталей в 15/9 = 5/3 раза, поэтому и количество металла увеличилось в 5/3 раза (с 36 кг до 60 кг).

Пояснение:

При постоянной скорости расстояние и время прямо пропорциональны. Найдем скорость туриста: 42 км ÷ 7 часов = 6 км/ч. Теперь найдем время, необходимое для прохождения 30 км: 30 км ÷ 6 км/ч = 5 часов. Другой способ решения: составим пропорцию 42 км : 7 часов = 30 км : x часов, где x — искомое время. Из пропорции получаем: x = (7 × 30) ÷ 42 = 210 ÷ 42 = 5 часов. Это соответствует уменьшению расстояния в 42/30 = 7/5 = 1,4 раза, поэтому и время уменьшилось в 1,4 раза (с 7 часов до 5 часов). Таким образом, турист пройдет 30 км за 5 часов.

Пояснение:

Если y прямо пропорционально x, то связь между ними выражается формулой y = k × x, где k — коэффициент прямой пропорциональности. Найдем коэффициент k, используя известные значения: 15 = k × 3, откуда k = 15 ÷ 3 = 5. Теперь найдем значение y при x = 9: y = 5 × 9 = 45. Другой способ решения: при прямой пропорциональности, если одна величина увеличивается в некоторое число раз, то и другая величина увеличивается во столько же раз. При изменении x от 3 до 9, x увеличилось в 9 ÷ 3 = 3 раза. Значит, y также увеличится в 3 раза: 15 × 3 = 45. Таким образом, при x = 9 значение y = 45.

Пояснение:

Если y обратно пропорционально x, то связь между ними выражается формулой y = k ÷ x или x × y = k, где k — коэффициент обратной пропорциональности. Найдем коэффициент k, используя известные значения: 20 = k ÷ 4 или 4 × 20 = k, откуда k = 80. Теперь найдем значение y при x = 10: y = 80 ÷ 10 = 8. Другой способ решения: при обратной пропорциональности, если одна величина увеличивается в некоторое число раз, то другая величина уменьшается во столько же раз. При изменении x от 4 до 10, x увеличилось в 10 ÷ 4 = 2,5 раза. Значит, y уменьшится в 2,5 раза: 20 ÷ 2,5 = 8. Таким образом, при x = 10 значение y = 8.

Пояснение:

Количество изготовленных деталей прямо пропорционально количеству станков и времени работы. Составим пропорцию: 3 станка × 8 часов : 1,2 тысячи деталей = 5 станков × 6 часов : x тысяч деталей, где x — искомое количество деталей. Из пропорции получаем: x = (1,2 × 5 × 6) ÷ (3 × 8) = 36 ÷ 24 = 1,5 тысячи деталей. Другой способ решения: найдем, сколько деталей производит один станок за один час: 1,2 тыс. ÷ (3 × 8) = 0,05 тыс. деталей/час. Тогда 5 станков за 6 часов произведут: 0,05 тыс. × 5 × 6 = 1,5 тыс. деталей. Таким образом, 5 станков за 6 часов изготовят 1,5 тысячи деталей.

Пояснение:

Плата за электроэнергию прямо пропорциональна количеству израсходованных киловатт-часов: чем больше расход электроэнергии, тем больше плата. Составим пропорцию: 150 кВт·ч : 900 рублей = 200 кВт·ч : x рублей, где x — искомая плата. Из пропорции получаем: x = (900 × 200) ÷ 150 = 180000 ÷ 150 = 1200 рублей. Другой способ решения: найдем стоимость 1 кВт·ч: 900 руб. ÷ 150 кВт·ч = 6 руб./кВт·ч. Тогда стоимость 200 кВт·ч будет равна: 6 руб./кВт·ч × 200 кВт·ч = 1200 руб. Это соответствует увеличению расхода электроэнергии в 200/150 = 4/3 раза, поэтому и плата увеличилась в 4/3 раза (с 900 руб. до 1200 руб.).

Пояснение:

Обозначим объем бассейна за V. Тогда производительность первого насоса V/6 объема в час, а производительность второго насоса V/4 объема в час. Суммарная производительность обоих насосов: V/6 + V/4 = (V/12)×(2+3) = (V/12)×5 = 5V/12 объема в час. Время наполнения бассейна при одновременной работе обоих насосов: V ÷ (5V/12) = 12/5 = 2,4 часа. Другой способ решения: первый насос за 1 час наполняет 1/6 бассейна, а второй насос — 1/4 бассейна. Вместе за 1 час они наполняют 1/6 + 1/4 = (1×4 + 1×6)/(6×4) = 10/24 = 5/12 бассейна. Тогда для наполнения всего бассейна потребуется 12/5 = 2,4 часа.

Пояснение:

Величины x и y находятся в обратно пропорциональной зависимости, если их произведение постоянно: x × y = k, где k — коэффициент обратной пропорциональности. Это можно записать как y = k/x. В данном случае, уравнение y = 3/x соответствует обратной пропорциональности с коэффициентом k = 3. Проверим: x × y = x × (3/x) = 3, то есть произведение x и y действительно постоянно и равно 3. В уравнении y = 3x величины x и y прямо пропорциональны. Уравнения y = 3x + 2 и y = 3 - x не выражают ни прямую, ни обратную пропорциональность. Таким образом, только уравнение y = 3/x выражает обратную пропорциональность между величинами x и y.