Тест по математике: Решение задач с помощью пропорций (6 класс)
Тест по математике «Решение задач с помощью пропорций» — это проверочная (контрольная) работа, рассчитанная на учащихся 6 класса. Задания направлены на проверку умения составлять и решать пропорции, применять их для решения практических задач различных типов.
1
Что такое пропорция?
Правильный ответ:
Равенство двух отношенийПояснение:
Пропорция — это равенство двух отношений вида a:b = c:d или a/b = c/d, где a, b, c, d — числа, причем b ≠ 0, d ≠ 0.
Числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов, т.е. a×d = b×c.
2
Какое из равенств является пропорцией?
Правильный ответ:
8/4 = 12/6Пояснение:
Пропорция — это равенство двух отношений. В данном случае 8/4 = 12/6 является пропорцией, так как представляет собой равенство двух отношений. Можно проверить это, применив основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. 8×6 = 4×12, 48 = 48. Равенство верно, значит это пропорция.3
Чему равен неизвестный член пропорции x/15 = 4/5?
Правильный ответ:
12Пояснение:
Для нахождения неизвестного члена пропорции используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Из пропорции x/15 = 4/5 получаем: x×5 = 15×4, x×5 = 60, x = 60/5 = 12. Можно проверить: 12/15 = 4/5, сократив дроби: 12/15 = 4/5, 4/5 = 4/5. Равенство верно, значит x = 12.4
Два числа относятся как 3:5. Если их сумма равна 64, то большее число равно:
Правильный ответ:
40Пояснение:
Обозначим первое число через 3x, а второе — через 5x, где x — некоторый множитель. По условию сумма чисел равна 64, составим уравнение: 3x + 5x = 64. Упростим: 8x = 64, x = 8. Следовательно, первое число равно 3×8 = 24, а второе число равно 5×8 = 40. Большее из них — 40. Проверка: отношение 24:40 = 3:5, и сумма 24+40 = 64.5
Для приготовления раствора на каждые 3 части воды берут 2 части кислоты. Сколько литров кислоты нужно взять для приготовления раствора, содержащего 24 литра воды?
Правильный ответ:
16 литровПояснение:
Решаем задачу с помощью пропорции. По условию, отношение воды к кислоте составляет 3:2. Составим пропорцию: 3/2 = 24/x, где x — количество литров кислоты. Применим основное свойство пропорции: 3×x = 24×2, 3x = 48, x = 48/3 = 16. Следовательно, для приготовления раствора с 24 литрами воды потребуется 16 литров кислоты. Проверка: отношение 24:16 = 3:2.6
На карте масштаба 1:50000 расстояние между двумя городами составляет 6 см. Какое расстояние между городами на местности?
Правильный ответ:
3 кмПояснение:
Масштаб 1:50000 означает, что 1 см на карте соответствует 50000 см на местности. Расстояние между городами на карте составляет 6 см. Составим пропорцию: 1 см на карте относится к 50000 см на местности как 6 см на карте относятся к x см на местности. 1/50000 = 6/x. Отсюда x = 6×50000 = 300000 см = 3000 м = 3 км. Таким образом, расстояние между городами на местности составляет 3 км.7
Автомобиль расходует 7 литров бензина на 100 км пути. Сколько бензина потребуется для поездки на 350 км?
Правильный ответ:
24,5 литраПояснение:
Составим пропорцию: на 100 км пути расходуется 7 литров бензина, а на 350 км пути расходуется x литров бензина. 100/7 = 350/x. По основному свойству пропорции: 100×x = 350×7, x = 350×7/100 = 24,5. Следовательно, для поездки на 350 км потребуется 24,5 литра бензина. Мы можем также решить через прямую пропорциональность: если 100 км требуют 7 л, то 350 км потребуют (7×350)/100 = 24,5 л.8
За 5 часов рабочий изготавливает 20 деталей. Сколько деталей он изготовит за 8 часов при той же производительности труда?
Правильный ответ:
32 деталиПояснение:
Составим пропорцию: за 5 часов изготавливается 20 деталей, а за 8 часов изготавливается x деталей. 5/20 = 8/x. По основному свойству пропорции: 5×x = 8×20, x = 8×20/5 = 32. Следовательно, за 8 часов рабочий изготовит 32 детали. Данная задача демонстрирует применение прямой пропорциональной зависимости: чем больше времени работает рабочий, тем больше деталей он изготовит при одинаковой производительности.9
Из 8 кг свежих грибов получается 1 кг сушеных. Сколько килограммов свежих грибов нужно собрать, чтобы получить 2,5 кг сушеных?
Правильный ответ:
20 кгПояснение:
Составим пропорцию: из 8 кг свежих грибов получается 1 кг сушеных, а из x кг свежих грибов получается 2,5 кг сушеных. 8/1 = x/2,5. По основному свойству пропорции: 8×2,5 = 1×x, x = 8×2,5 = 20. Следовательно, чтобы получить 2,5 кг сушеных грибов, нужно собрать 20 кг свежих грибов. Данная задача иллюстрирует применение пропорций для решения практических задач с преобразованием величин.10
В классе 35 учеников, из них 60% составляют девочки. Сколько мальчиков в классе?
Правильный ответ:
14 мальчиковПояснение:
Если девочки составляют 60% от всех учеников, то на долю мальчиков приходится 100% - 60% = 40%. Составим пропорцию: 100% соответствует 35 ученикам, а 40% соответствует x ученикам (мальчикам). 100/35 = 40/x. По основному свойству пропорции: 100×x = 35×40, x = 35×40/100 = 14. Следовательно, в классе 14 мальчиков. Проверка: 14 мальчиков составляют 14/35 = 0,4 или 40% от всего класса, что соответствует условию.11
Если 6 рабочих выполняют работу за 12 дней, то сколько дней потребуется 9 рабочим для выполнения той же работы?
Правильный ответ:
8 днейПояснение:
Эта задача на обратно пропорциональную зависимость: чем больше рабочих, тем меньше времени требуется на выполнение работы. Составим пропорцию: 6 рабочих затрачивают 12 дней, а 9 рабочих затрачивают x дней. 6×12 = 9×x (произведение количества рабочих на время работы остается постоянным). Отсюда x = (6×12)/9 = 72/9 = 8. Следовательно, 9 рабочим потребуется 8 дней для выполнения той же работы.12
Велосипедист проехал 48 км за 3 часа. Сколько километров он проедет за 5 часов при той же скорости?
Правильный ответ:
80 кмПояснение:
Составим пропорцию: за 3 часа велосипедист проезжает 48 км, а за 5 часов проедет x км. 3/48 = 5/x. По основному свойству пропорции: 3×x = 5×48, x = 5×48/3 = 240/3 = 80. Следовательно, за 5 часов велосипедист проедет 80 км. Мы также можем найти скорость велосипедиста: 48/3 = 16 км/ч, а затем умножить на новое время: 16×5 = 80 км. Это задача на прямую пропорциональность: чем больше времени, тем больше расстояние при постоянной скорости.13
В столовой на 120 человек израсходовали 12 кг крупы. Сколько крупы потребуется на 200 человек?
Правильный ответ:
20 кгПояснение:
Составим пропорцию: на 120 человек израсходовали 12 кг крупы, а на 200 человек потребуется x кг крупы. 120/12 = 200/x. По основному свойству пропорции: 120×x = 200×12, x = 200×12/120 = 2400/120 = 20. Следовательно, на 200 человек потребуется 20 кг крупы. Это задача на прямую пропорциональность: чем больше людей, тем больше требуется продуктов при одинаковой норме расхода на одного человека.14
Товар стоил 800 рублей, а затем подорожал на 25%. Какова новая цена товара?
Правильный ответ:
1000 рублейПояснение:
Для решения этой задачи используем пропорцию: 100% соответствует 800 рублей, а (100% + 25%) = 125% соответствует x рублей. 100/800 = 125/x. По основному свойству пропорции: 100×x = 125×800, x = 125×800/100 = 1000. Следовательно, новая цена товара составляет 1000 рублей. Альтернативный способ решения: найти 25% от 800 рублей (800×0,25 = 200 рублей) и прибавить к исходной цене: 800 + 200 = 1000 рублей.15
Стороны подобных треугольников относятся как 2:5. Периметр меньшего треугольника равен 24 см. Чему равен периметр большего треугольника?
Правильный ответ:
60 смПояснение:
У подобных треугольников все соответствующие элементы пропорциональны коэффициенту подобия. Если стороны треугольников относятся как 2:5, то и их периметры относятся так же. Составим пропорцию: периметр меньшего треугольника (24 см) относится к периметру большего треугольника (x см) как 2:5. 24/x = 2/5. По основному свойству пропорции: 24×5 = 2×x, x = 24×5/2 = 120/2 = 60. Следовательно, периметр большего треугольника равен 60 см.16
Цена товара снизилась с 400 рублей до 320 рублей. На сколько процентов снизилась цена товара?
Правильный ответ:
20%Пояснение:
Для решения задачи найдем абсолютное изменение цены: 400 - 320 = 80 (рублей). Чтобы найти процентное изменение, составим пропорцию: 400 рублей соответствует 100%, а 80 рублей соответствует x%. 400/100 = 80/x. По основному свойству пропорции: 400×x = 80×100, x = 80×100/400 = 8000/400 = 20. Следовательно, цена товара снизилась на 20%. Проверка: 20% от 400 рублей равно 0,2×400 = 80 рублей, 400 - 80 = 320 рублей, что соответствует условию.17
Сплав содержит 30% меди. Сколько килограммов меди содержится в 70 кг сплава?
Правильный ответ:
21 кгПояснение:
Составим пропорцию: 100% сплава содержит 30% меди, то есть 100 кг сплава содержат 30 кг меди, а 70 кг сплава содержат x кг меди. 100/30 = 70/x. По основному свойству пропорции: 100×x = 70×30, x = 70×30/100 = 2100/100 = 21. Следовательно, в 70 кг сплава содержится 21 кг меди. Также можно решить задачу, найдя 30% от 70 кг: 0,3×70 = 21 кг. Это иллюстрирует применение пропорций для решения задач на процентное содержание вещества.18
За 4 часа токарь изготавливает 20 деталей. Сколько деталей изготовят 6 таких токарей за 5 часов?
Правильный ответ:
150 деталейПояснение:
Сначала найдем, сколько деталей изготавливает один токарь за 1 час: 20 деталей / 4 часа = 5 деталей в час. Теперь можем найти, сколько деталей изготовят 6 токарей за 5 часов: 5 деталей/час × 6 токарей × 5 часов = 150 деталей. Альтернативно можно составить двойную пропорцию: если за 4 часа 1 токарь изготавливает 20 деталей, то 6 токарей за 5 часов изготовят: x = 20 × (6/1) × (5/4) = 20 × 6 × 5/4 = 150 деталей.19
Школьник прочитал 40% книги, что составляет 120 страниц. Сколько всего страниц в книге?
Правильный ответ:
300 страницПояснение:
Составим пропорцию: 40% книги соответствует 120 страницам, а 100% книги соответствует x страницам. 40/120 = 100/x. По основному свойству пропорции: 40×x = 100×120, x = 100×120/40 = 12000/40 = 300. Следовательно, в книге всего 300 страниц. Проверка: 40% от 300 страниц равно 0,4×300 = 120 страниц, что соответствует условию. Задача демонстрирует применение пропорций для нахождения целого по его известной части.20
Две бригады рабочих одновременно начали укладывать плитку на площади. Первая бригада за день укладывает 90 м², а вторая — 60 м². Через сколько дней будет уложено 600 м² плитки?
Правильный ответ:
4 дняПояснение:
Найдем, сколько квадратных метров плитки укладывают обе бригады за один день: 90 м² + 60 м² = 150 м². Составим пропорцию: за 1 день укладывается 150 м² плитки, а за x дней укладывается 600 м² плитки. 1/150 = x/600. По основному свойству пропорции: 1×600 = 150×x, x = 600/150 = 4. Следовательно, две бригады уложат 600 м² плитки за 4 дня. Проверка: за 4 дня они уложат 150 м² × 4 = 600 м² плитки, что соответствует условию.
