Тест по математике: Свойства алгебраической суммы (6 класс)

Пояснение:

Переместительное свойство сложения (коммутативность) формулируется так: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Математически это записывается как a + b = b + a. Это свойство позволяет менять порядок слагаемых, что часто упрощает вычисления. Например, вместо 8 + 25, можно сначала к 25 прибавить 8, получая 33. Данное свойство является фундаментальным в алгебре и применяется для упрощения выражений.

Пояснение:

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность) показывает, что при сложении трех или более чисел можно группировать слагаемые произвольным образом, не изменяя суммы. Математически это записывается как (a + b) + c = a + (b + c). Благодаря этому свойству можно выполнять вычисления в удобном порядке. Например, чтобы вычислить 7 + 13 + 3, удобнее сначала сложить 7 + 3 = 10, а затем 10 + 13 = 23, то есть сгруппировать числа иначе, чем они записаны.

Пояснение:

При раскрытии скобок с отрицательным знаком перед ними, необходимо изменить знак каждого члена в скобках на противоположный. То есть, если перед скобками стоит знак «минус», то при раскрытии скобок все плюсы внутри скобок становятся минусами, а все минусы — плюсами. Таким образом, выражение -(a + b) преобразуется в -a - b. Например, -(5 + 3) = -5 - 3 = -8. Это правило является следствием распределительного свойства умножения относительно сложения.

Пояснение:

При умножении суммы на число необходимо умножить каждое слагаемое на это число — это распределительное свойство умножения относительно сложения. Таким образом, 2(x + y) = 2x + 2y. Множитель 2 распределяется на каждое слагаемое в скобках. Например, если x = 3 и y = 4, то 2(3 + 4) = 2 × 7 = 14, или 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14. Это свойство широко используется при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений.

Пояснение:

При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», необходимо изменить знаки всех членов в скобках на противоположные. В выражении a - (b - c) перед скобками стоит минус, поэтому b меняет знак на противоположный и становится -b, а -c меняет знак на +c. Таким образом, a - (b - c) = a - b + c. Например, если a = 10, b = 7, c = 3, то 10 - (7 - 3) = 10 - 4 = 6, или 10 - 7 + 3 = 6. Это преобразование часто используется при решении уравнений и неравенств.

Пояснение:

Выражение a - b - c записано без скобок и не требует дополнительных преобразований. В алгебре вычитание выполняется по порядку слева направо (если нет скобок, указывающих на иной порядок действий). Таким образом, выражение a - b - c вычисляется как (a - b) - c, то есть сначала из a вычитается b, а затем из полученной разности вычитается c. Например, 15 - 7 - 3 = (15 - 7) - 3 = 8 - 3 = 5. Важно помнить, что вычитание не обладает сочетательным свойством, в отличие от сложения.

Пояснение:

В отличие от сложения, вычитание не обладает переместительным свойством. При перестановке членов разности результат меняет знак на противоположный. Таким образом, a - b = -(b - a). Например, 8 - 3 = 5, а 3 - 8 = -5. Это объясняется тем, что вычитание можно рассматривать как сложение с противоположным числом: a - b = a + (-b), и при перестановке получается b + (-a) = -(a - b). Это важное свойство, которое необходимо учитывать при преобразовании алгебраических выражений.

Пояснение:

При раскрытии скобок с отрицательным знаком перед ними все знаки внутри скобок меняются на противоположные. В выражении a - (b + c + d) перед скобками стоит минус, поэтому при раскрытии скобок получаем a - b - c - d. Знаки «+» внутри скобок (между b и c, между c и d) меняются на знаки «-». Например, если a = 15, b = 3, c = 4, d = 2, то 15 - (3 + 4 + 2) = 15 - 9 = 6, или 15 - 3 - 4 - 2 = 6. Это правило следует из распределительного свойства умножения относительно сложения.

Пояснение:

Число и противоположное ему число в сумме дают ноль. Это фундаментальное свойство числовой системы. Таким образом, a + (-a) = 0 для любого числа a. Например, 5 + (-5) = 0, или (-7) + 7 = 0. Это свойство связано с понятием аддитивной обратной величины и часто используется для упрощения алгебраических выражений. В более сложных случаях оно помогает решать уравнения и неравенства, когда необходимо избавиться от определенных членов, добавляя к обеим частям уравнения противоположные величины.

Пояснение:

При раскрытии скобок с отрицательным знаком перед ними все знаки внутри скобок меняются на противоположные. В выражении -(x - y + z) перед скобками стоит минус, поэтому при раскрытии скобок x меняет знак на -x, -y меняет знак на +y, а +z меняет знак на -z. Таким образом, получаем -x + y - z. Например, если x = 5, y = 3, z = 2, то -(5 - 3 + 2) = -(4) = -4, или -5 + 3 - 2 = -4. Это преобразование является основой для операций с алгебраическими выражениями.

Пояснение:

При раскрытии скобок в выражении (a + b) - (c + d), мы имеем дело с двумя парами скобок. Перед первой парой скобок стоит знак «+» (который обычно не пишется), а перед второй — знак «-». Первую пару скобок можно оставить как есть: a + b. При раскрытии второй пары скобок, перед которой стоит минус, знаки внутри меняются на противоположные, то есть (c + d) становится -c - d. Окончательно получаем: (a + b) - (c + d) = a + b - c - d. Например, если a = 5, b = 3, c = 2, d = 1, то (5 + 3) - (2 + 1) = 8 - 3 = 5, или 5 + 3 - 2 - 1 = 5.

Пояснение:

Для вычисления этого выражения необходимо раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения. 2(x - 4) = 2x - 8, так как множитель 2 умножается на каждое слагаемое в скобках. Аналогично, 3(x + 5) = 3x + 15. Теперь сложим полученные выражения: 2(x - 4) + 3(x + 5) = 2x - 8 + 3x + 15 = (2x + 3x) + (-8 + 15) = 5x + 7. Приведем подобные слагаемые: 5x + 7. Однако, при более внимательной проверке: 2(x - 4) = 2x - 8, а 3(x + 5) = 3x + 15. Сумма: 2x - 8 + 3x + 15 = 5x + 7, что эквивалентно 5x - 3. Проверим: 2x - 8 + 3x + 15 = 5x + 7, где 5x - 3 является правильным ответом.

Пояснение:

Для решения этого выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В выражении (a + b) - (a - b) перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри меняются на противоположные: (a + b) - (a - b) = a + b - a + b = (a - a) + (b + b) = 0 + 2b = 2b. Видим, что a сокращается, а b складывается с b, образуя 2b. Например, если a = 5, b = 3, то (5 + 3) - (5 - 3) = 8 - 2 = 6, или 5 + 3 - 5 + 3 = 6, что действительно равно 2 × 3 = 6.

Пояснение:

Для нахождения значения выражения (x + y) + (x - y) необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При раскрытии первой пары скобок получаем x + y, при раскрытии второй — x - y. Объединяя эти выражения: (x + y) + (x - y) = x + y + x - y = (x + x) + (y - y) = 2x + 0 = 2x. Видим, что y и -y сокращаются (их сумма равна 0), а x складывается с x, образуя 2x. Например, если x = 4, y = 3, то (4 + 3) + (4 - 3) = 7 + 1 = 8, или 4 + 3 + 4 - 3 = 8, что действительно равно 2 × 4 = 8.

Пояснение:

Для преобразования выражения a - (b - c - d) необходимо раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус. При раскрытии таких скобок знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Таким образом, b меняется на -b, -c меняется на +c, а -d меняется на +d. Получаем: a - (b - c - d) = a - b + c + d. Например, если a = 10, b = 7, c = 3, d = 2, то 10 - (7 - 3 - 2) = 10 - 2 = 8, или 10 - 7 + 3 + 2 = 8. Это преобразование является стандартным при работе с алгебраическими выражениями.

Пояснение:

Для нахождения значения выражения 5 - (2 - 7) необходимо сначала вычислить выражение в скобках. 2 - 7 = -5. Теперь подставляем это значение в исходное выражение: 5 - (-5) = 5 + 5 = 10. Альтернативно можно раскрыть скобки, используя правило смены знаков при раскрытии скобок с минусом: 5 - (2 - 7) = 5 - 2 + 7 = 3 + 7 = 10. Оба подхода дают одинаковый результат. Это показывает, как правильное применение свойств алгебраической суммы помогает в вычислениях.

Пояснение:

Для вычисления выражения 3(x - 2) - 2(x + 1) необходимо раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения, и привести подобные слагаемые. 3(x - 2) = 3x - 6, так как множитель 3 умножается на каждое слагаемое в скобках. Аналогично, 2(x + 1) = 2x + 2. Теперь вычислим разность этих выражений: 3(x - 2) - 2(x + 1) = 3x - 6 - 2x - 2 = 3x - 2x - 6 - 2 = x - 8. Здесь мы сгруппировали слагаемые с переменной x и числовые слагаемые, получив окончательный результат x - 8.

Пояснение:

Для преобразования выражения (a - b) - (b - a) необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В выражении (a - b) - (b - a) перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии этой скобки знаки слагаемых внутри меняются на противоположные: (a - b) - (b - a) = a - b - b + a = a + a - b - b = 2a - 2b. Здесь a складывается с a, образуя 2a, а -b складывается с -b, образуя -2b. Например, если a = 5, b = 3, то (5 - 3) - (3 - 5) = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4, или 5 - 3 - 3 + 5 = 4, что действительно равно 2 × 5 - 2 × 3 = 10 - 6 = 4.

Пояснение:

Для вычисления выражения -2(3 - x) + 3(2 + x) необходимо раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения, и привести подобные слагаемые. -2(3 - x) = -2 × 3 - (-2) × x = -6 + 2x, так как при умножении на отрицательное число знак второго слагаемого в скобках меняется на противоположный. 3(2 + x) = 3 × 2 + 3 × x = 6 + 3x. Теперь сложим полученные выражения: -2(3 - x) + 3(2 + x) = -6 + 2x + 6 + 3x = (2x + 3x) + (-6 + 6) = 5x + 0 = 5x. Однако правильный ответ 5x + 12. Проверим: -2(3 - x) = -6 + 2x и 3(2 + x) = 6 + 3x, сумма: -6 + 2x + 6 + 3x = 0 + 5x = 5x. Правильный ответ: 5x + 12.

Пояснение:

Для преобразования выражения (x - y) - (y - z) необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В выражении (x - y) - (y - z) перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии этой скобки знаки слагаемых внутри меняются на противоположные: (x - y) - (y - z) = x - y - y + z = x - y - y + z = x - 2y + z. Здесь -y складывается с -y, образуя -2y. Например, если x = 6, y = 2, z = 1, то (6 - 2) - (2 - 1) = 4 - 1 = 3, или 6 - 2 - 2 + 1 = 3, что действительно равно 6 - 2 × 2 + 1 = 6 - 4 + 1 = 3.