Тест по математике: Законы арифметических действий (5 класс)

Пояснение:

Равенство a + b = b + a выражает переместительный закон сложения. Этот закон утверждает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Другими словами, порядок, в котором мы складываем числа, не влияет на результат сложения. Например, 5 + 3 = 3 + 5 = 8. Переместительный закон сложения позволяет упростить вычисления, выбирая более удобный порядок слагаемых. Этот закон справедлив для любых чисел и является одним из фундаментальных законов арифметики. Он широко применяется при выполнении вычислений и преобразовании выражений.

Пояснение:

Равенство a × b = b × a выражает переместительный закон умножения. Этот закон утверждает, что от перестановки множителей произведение не меняется. Другими словами, порядок, в котором мы перемножаем числа, не влияет на результат умножения. Например, 4 × 7 = 7 × 4 = 28. Переместительный закон умножения позволяет упростить вычисления, выбирая более удобный порядок множителей. Этот закон справедлив для любых чисел и является одним из фундаментальных законов арифметики. Он широко применяется при выполнении вычислений и преобразовании выражений.

Пояснение:

Равенство (a + b) + c = a + (b + c) выражает сочетательный закон сложения. Этот закон утверждает, что при сложении трёх и более чисел можно группировать слагаемые различными способами, не меняя результата. Другими словами, порядок выполнения операций сложения не влияет на конечный результат. Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9. Сочетательный закон сложения позволяет упростить вычисления, выбирая более удобную группировку слагаемых. Этот закон справедлив для любых чисел и является одним из фундаментальных законов арифметики. Он широко применяется при выполнении вычислений и преобразовании выражений.

Пояснение:

Равенство (a × b) × c = a × (b × c) выражает сочетательный закон умножения. Этот закон утверждает, что при умножении трёх и более чисел можно группировать множители различными способами, не меняя результата. Другими словами, порядок выполнения операций умножения не влияет на конечный результат. Например, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24. Сочетательный закон умножения позволяет упростить вычисления, выбирая более удобную группировку множителей. Этот закон справедлив для любых чисел и является одним из фундаментальных законов арифметики. Он широко применяется при выполнении вычислений и преобразовании выражений.

Пояснение:

Равенство a × (b + c) = a × b + a × c выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон утверждает, что умножение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27. Распределительный закон позволяет раскрывать скобки при умножении числа на сумму и, наоборот, выносить общий множитель за скобки. Этот закон справедлив для любых чисел и является одним из фундаментальных законов арифметики. Он широко применяется при выполнении вычислений, преобразовании выражений и решении уравнений.

Пояснение:

Равенство 8 + 12 = 12 + 8 является примером переместительного закона сложения, который формулируется как a + b = b + a. В данном примере мы видим, что порядок слагаемых изменился (8 и 12 поменялись местами), но результат сложения остался прежним: 8 + 12 = 20 и 12 + 8 = 20. Переместительный закон сложения позволяет менять местами слагаемые, не меняя значения суммы. Этот закон часто используется для упрощения вычислений, когда удобнее сначала прибавить одно число, а не другое. Например, чтобы вычислить 28 + 72, удобнее представить это как 28 + 72 = 72 + 28, а затем 72 + 28 = 100.

Пояснение:

Равенство 6 × 4 = 4 × 6 является примером переместительного закона умножения, который формулируется как a × b = b × a. В данном примере мы видим, что порядок множителей изменился (6 и 4 поменялись местами), но результат умножения остался прежним: 6 × 4 = 24 и 4 × 6 = 24. Переместительный закон умножения позволяет менять местами множители, не меняя значения произведения. Этот закон часто используется для упрощения вычислений, когда удобнее сначала умножить на одно число, а не на другое. Например, чтобы вычислить 25 × 4, удобнее представить это как 25 × 4 = 4 × 25 = 100.

Пояснение:

Равенство (15 + 7) + 3 = 15 + (7 + 3) является примером сочетательного закона сложения, который формулируется как (a + b) + c = a + (b + c). В данном примере мы видим, что группировка слагаемых изменилась: в левой части сначала складываются 15 и 7, а затем к результату прибавляется 3; в правой части сначала складываются 7 и 3, а затем к 15 прибавляется полученный результат. Несмотря на разную группировку, конечный результат одинаков: (15 + 7) + 3 = 22 + 3 = 25 и 15 + (7 + 3) = 15 + 10 = 25. Сочетательный закон сложения позволяет группировать слагаемые различными способами, не меняя значения суммы.

Пояснение:

Равенство (6 × 2) × 5 = 6 × (2 × 5) является примером сочетательного закона умножения, который формулируется как (a × b) × c = a × (b × c). В данном примере мы видим, что группировка множителей изменилась: в левой части сначала перемножаются 6 и 2, а затем результат умножается на 5; в правой части сначала перемножаются 2 и 5, а затем 6 умножается на полученный результат. Несмотря на разную группировку, конечный результат одинаков: (6 × 2) × 5 = 12 × 5 = 60 и 6 × (2 × 5) = 6 × 10 = 60. Сочетательный закон умножения позволяет группировать множители различными способами, не меняя значения произведения.

Пояснение:

Равенство 4 × (7 + 3) = 4 × 7 + 4 × 3 является примером распределительного закона умножения относительно сложения, который формулируется как a × (b + c) = a × b + a × c. В данном примере мы видим, что в левой части число 4 умножается на сумму 7 + 3, а в правой части 4 умножается отдельно на 7 и на 3, после чего полученные произведения складываются. Результат в обоих случаях одинаков: 4 × (7 + 3) = 4 × 10 = 40 и 4 × 7 + 4 × 3 = 28 + 12 = 40. Распределительный закон позволяет раскрывать скобки при умножении числа на сумму и, наоборот, выносить общий множитель за скобки.

Пояснение:

Вычисление 25 × 4 × 5 как 25 × 20 основано на применении сочетательного закона умножения, который формулируется как (a × b) × c = a × (b × c). В данном примере мы группируем множители 4 и 5, вычисляя их произведение: 4 × 5 = 20. Затем умножаем 25 на полученный результат: 25 × 20 = 500. Таким образом, 25 × 4 × 5 = 25 × (4 × 5) = 25 × 20 = 500. Сочетательный закон умножения позволяет выбирать наиболее удобную группировку множителей для упрощения вычислений. В данном случае удобнее сначала перемножить 4 и 5, получив 20, а затем умножить 25 на 20, чем выполнять умножение в порядке записи чисел.

Пояснение:

Вычисление 37 + 25 + 13 + 75 как 37 + 13 + 25 + 75 основано на применении переместительного закона сложения, который формулируется как a + b = b + a. В данном примере мы меняем порядок слагаемых, переставляя число 13 на второе место после 37. Переместительный закон сложения позволяет менять местами слагаемые, не меняя значения суммы. Это удобно для упрощения вычислений. В данном случае, переставив числа, мы можем заметить, что 37 + 13 = 50 и 25 + 75 = 100, что даёт в сумме 50 + 100 = 150. Таким образом, переместительный закон помогает группировать числа так, чтобы вычисления стали проще.

Пояснение:

Вычисление 8 × 99 как 8 × 100 - 8 основано на применении распределительного закона умножения относительно сложения (или вычитания), который формулируется как a × (b + c) = a × b + a × c или a × (b - c) = a × b - a × c. В данном примере мы используем тот факт, что 99 = 100 - 1, и применяем распределительный закон: 8 × 99 = 8 × (100 - 1) = 8 × 100 - 8 × 1 = 800 - 8 = 792. Распределительный закон позволяет упростить вычисления, особенно когда один из множителей близок к «круглому» числу. В данном случае умножение на 100 выполняется просто (достаточно приписать два нуля), а затем вычитается 8, что гораздо проще, чем умножать 8 на 99 напрямую.

Пояснение:

Вычисление (47 + 38) + 12 как 47 + (38 + 12) основано на применении сочетательного закона сложения, который формулируется как (a + b) + c = a + (b + c). В данном примере мы меняем группировку слагаемых: вместо того, чтобы сначала складывать 47 и 38, а затем прибавлять 12, мы сначала складываем 38 и 12, а затем прибавляем результат к 47. Сочетательный закон сложения позволяет выбирать наиболее удобную группировку слагаемых для упрощения вычислений. В данном случае удобнее сначала сложить 38 и 12, получив 50 (круглое число), а затем прибавить 47, получив 97. Это проще, чем сначала складывать 47 и 38, получая 85, а затем прибавлять 12.

Пояснение:

Вычисление 5 × (10 + 7) как 5 × 10 + 5 × 7 основано на применении распределительного закона умножения относительно сложения, который формулируется как a × (b + c) = a × b + a × c. В данном примере мы раскрываем скобки, умножая 5 на каждое слагаемое в скобках: 5 × (10 + 7) = 5 × 10 + 5 × 7 = 50 + 35 = 85. Распределительный закон позволяет раскрывать скобки при умножении числа на сумму. Это особенно полезно, когда умножение на отдельные слагаемые проще, чем на их сумму. В данном случае умножение на 10 выполняется просто (достаточно приписать ноль), что делает вычисления более удобными.

Пояснение:

Равенство 15 - 7 = 7 - 15 НЕ является примером переместительного закона, потому что оно неверно. Переместительный закон не применим к вычитанию. Если мы вычислим левую и правую части, то получим: 15 - 7 = 8, а 7 - 15 = -8. Очевидно, что 8 ≠ -8, поэтому равенство не выполняется. Переместительный закон справедлив только для операций сложения (a + b = b + a) и умножения (a × b = b × a). Для вычитания и деления переместительный закон не работает. Это важное ограничение, которое нужно учитывать при выполнении арифметических действий. Например, 10 - 3 ≠ 3 - 10 и 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12.

Пояснение:

Равенство (12 - 4) - 3 = 12 - (4 - 3) НЕ является примером сочетательного закона, потому что оно неверно. Сочетательный закон не применим к вычитанию. Если мы вычислим левую и правую части, то получим: (12 - 4) - 3 = 8 - 3 = 5, а 12 - (4 - 3) = 12 - 1 = 11. Очевидно, что 5 ≠ 11, поэтому равенство не выполняется. Сочетательный закон справедлив только для операций сложения ((a + b) + c = a + (b + c)) и умножения ((a × b) × c = a × (b × c)). Для вычитания и деления сочетательный закон не работает. Это важное ограничение, которое нужно учитывать при выполнении арифметических действий и при расстановке скобок в выражениях.

Пояснение:

Равенство 6 × (9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4 является верным, так как оно представляет собой пример распределительного закона умножения относительно вычитания: a × (b - c) = a × b - a × c. Вычислим обе части равенства: 6 × (9 - 4) = 6 × 5 = 30 и 6 × 9 - 6 × 4 = 54 - 24 = 30. Действительно, 30 = 30, равенство верно. Остальные равенства неверны: 20 - (8 + 5) = 20 - 13 = 7, но (20 - 8) + 5 = 12 + 5 = 17; (16 - 7) - 3 = 9 - 3 = 6, но 16 - (7 - 3) = 16 - 4 = 12; 30 ÷ (5 × 2) = 30 ÷ 10 = 3, но (30 ÷ 5) × 2 = 6 × 2 = 12. Распределительный закон — единственный из законов арифметических действий, который связывает две разные операции (умножение и сложение/вычитание).

Пояснение:

Вычисление 25 × 48 как (25 × 50) - (25 × 2) основано на применении распределительного закона умножения относительно вычитания, который формулируется как a × (b - c) = a × b - a × c. В данном примере мы используем тот факт, что 48 = 50 - 2, и применяем распределительный закон: 25 × 48 = 25 × (50 - 2) = 25 × 50 - 25 × 2 = 1250 - 50 = 1200. Распределительный закон позволяет упростить вычисления, особенно когда один из множителей близок к «круглому» числу. В данном случае умножение на 50 выполняется проще (умножаем на 100 и делим на 2), чем умножение на 48 напрямую. Этот приём часто используется при устном счёте и для проверки результатов вычислений.