Тест: Задачи на проценты

Пояснение:

Чтобы решить эту задачу, сначала нужно найти количество девочек в классе. По условию, девочки составляют 40% от всех учеников. Найдем 40% от 30: 30 × 0,4 = 12. Значит, в классе 12 девочек. Тогда количество мальчиков будет равно: 30 - 12 = 18. Также можно решить по-другому: если девочки составляют 40%, то мальчики составляют 60% (100% - 40% = 60%). Значит, количество мальчиков: 30 × 0,6 = 18. Таким образом, в классе 18 мальчиков.

Пояснение:

Чтобы найти цену товара после снижения на 25%, можно использовать два подхода. Первый способ: найти сумму скидки и вычесть её из первоначальной цены. Сумма скидки составляет 25% от 800 рублей: 800 × 0,25 = 200 рублей. Тогда новая цена: 800 - 200 = 600 рублей. Второй способ: если цена снизилась на 25%, значит, новая цена составляет 75% (100% - 25%) от первоначальной. Находим 75% от 800 рублей: 800 × 0,75 = 600 рублей. Оба метода дают одинаковый результат: после снижения на 25% цена товара стала 600 рублей.

Пояснение:

Чтобы найти процент от числа, нужно умножить это число на десятичную дробь, соответствующую данному проценту. 15% = 15/100 = 0,15. Находим 15% от 80: 80 × 0,15 = 12. Можно решить задачу и по-другому. Найдем 10% от 80: 80 × 0,1 = 8. Найдем 5% от 80: 80 × 0,05 = 4. Тогда 15% от 80 будет равно сумме: 8 + 4 = 12. Также можно найти 1% от числа (это 80 ÷ 100 = 0,8), а затем умножить на количество процентов: 0,8 × 15 = 12. Таким образом, 15% от 80 равно 12.

Пояснение:

Чтобы выразить дробь в процентах, нужно умножить её на 100%. Вычислим: 3/4 × 100% = 75%. Можно также сначала перевести дробь в десятичную: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75, а затем умножить на 100%: 0,75 × 100% = 75%. Ещё один способ: поскольку 1/4 = 25%, то 3/4 = 3 × 25% = 75%. Таким образом, дробь 3/4 соответствует 75%. Правильный перевод дробей в проценты и обратно очень важен при решении различных задач на проценты, так как он позволяет лучше понимать соотношения между величинами.

Пояснение:

При начислении простых процентов доход начисляется только на первоначальную сумму вклада. За первый год доход составит 5% от 2000 рублей: 2000 × 0,05 = 100 рублей. За второй год также начисляется 5% от первоначальной суммы: 2000 × 0,05 = 100 рублей. Общий доход за два года: 100 + 100 = 200 рублей. Можно также найти доход сразу за два года: 2000 × 0,05 × 2 = 200 рублей. Важно отличать простые проценты от сложных, где проценты начисляются на всю сумму вклада, включая ранее начисленные проценты. При сложных процентах доход был бы больше.

Пояснение:

При скидке 20% покупатель платит 80% от первоначальной цены (100% - 20% = 80%). Найдем 80% от 450 рублей: 450 × 0,8 = 360 рублей. Можно решить и по-другому: сначала найти сумму скидки, а затем вычесть её из первоначальной цены. Скидка составляет 20% от 450 рублей: 450 × 0,2 = 90 рублей. Тогда цена со скидкой: 450 - 90 = 360 рублей. Оба метода дают одинаковый результат: покупатель должен заплатить 360 рублей. При решении задач на скидки полезно помнить, что процент оплаты всегда дополняет процент скидки до 100%.

Пояснение:

Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно разделить первое число на второе и умножить результат на 100%. Вычислим: (14 ÷ 56) × 100% = 0,25 × 100% = 25%. Можно проверить: 25% от 56 = 56 × 0,25 = 14. То есть число 14 составляет 25% от числа 56. Заметим, что 14 = 56 ÷ 4, то есть 14 составляет 1/4 часть от 56, что соответствует 25%. Задачи на нахождение процентного отношения одной величины к другой часто встречаются в практических ситуациях, связанных с анализом данных и сравнением величин.

Пояснение:

Пусть x — искомое число. По условию, 20% от x равны 35, то есть 0,2x = 35. Отсюда x = 35 ÷ 0,2 = 175. Можно использовать и другие подходы. Например, пропорция: если 20% от числа составляют 35, то 100% составят x. Тогда 20% : 35 = 100% : x, откуда x = 35 × (100% ÷ 20%) = 35 × 5 = 175. Также можно рассуждать так: если 20% числа равны 35, то 1% равен 35 ÷ 20 = 1,75, а 100% составят 1,75 × 100 = 175. Проверка: 20% от 175 = 175 × 0,2 = 35. Таким образом, искомое число равно 175.

Пояснение:

Пусть x — первоначальная цена товара. После повышения на 10% цена стала 264 рубля. Это означает, что новая цена составляет 110% от первоначальной: 1,1x = 264. Отсюда x = 264 ÷ 1,1 = 240 рублей. Можно решить и по-другому. Если обозначить первоначальную цену за 100%, то новая цена составляет 110%. Тогда можно составить пропорцию: 110% : 264 рубля = 100% : x рублей, откуда x = 264 × (100% ÷ 110%) = 264 × (10 ÷ 11) = 240 рублей. Проверка: повысим 240 рублей на 10%: 240 + 240 × 0,1 = 240 + 24 = 264 рубля. Значит, первоначальная цена была 240 рублей.

Пояснение:

Чтобы найти, сколько процентов составляет часть от целого, нужно разделить часть на целое и умножить на 100%: (150 ÷ 600) × 100% = 0,25 × 100% = 25%. Можно проверить: 25% от 600 = 600 × 0,25 = 150. Заметим, что 150 = 600 ÷ 4, то есть 150 составляет 1/4 часть от 600, что соответствует 25%. При решении такого типа задач полезно искать простые дробные отношения между числами, если они есть, так как это позволяет быстрее найти ответ. В данном случае, видя, что 150 составляет четверть от 600, сразу можно определить, что это 25%.

Пояснение:

Сначала найдем первоначальную цену товара. Если после повышения на 20% цена стала 720 рублей, то новая цена составляет 120% от первоначальной. Обозначим первоначальную цену за x, тогда 1,2x = 720, откуда x = 720 ÷ 1,2 = 600 рублей. Теперь найдем, на сколько подорожал товар: 720 - 600 = 120 рублей. Можно решить задачу и по-другому. Если новая цена составляет 120% от первоначальной, то увеличение цены составляет 20% от первоначальной. Тогда увеличение равно 720 × (20% ÷ 120%) = 720 × (1/6) = 120 рублей. Таким образом, товар подорожал на 120 рублей.

Пояснение:

Сначала найдем общую стоимость двух футболок без скидки: 800 × 2 = 1600 рублей. Затем найдем сумму скидки: 1600 × 0,15 = 240 рублей. Стоимость с учетом скидки: 1600 - 240 = 1360 рублей. Можно решить и по-другому: при скидке 15% покупатель платит 85% от первоначальной суммы (100% - 15% = 85%). Тогда стоимость с учетом скидки: 1600 × 0,85 = 1360 рублей. Таким образом, две футболки с учетом скидки будут стоить 1360 рублей. Задачи на скидки часто встречаются в повседневной жизни, поэтому важно уметь быстро рассчитывать итоговую сумму покупки.

Пояснение:

Сначала найдем общее число учеников двух классов: 30 + 24 = 54 ученика. Затем определим, сколько процентов от общего числа составляют ученики первого класса: (30 ÷ 54) × 100% ≈ 55,6%. Можно решить эту задачу и с помощью дробей: 30/54 = 5/9 ≈ 0,556, а 0,556 × 100% ≈ 55,6%. При вычислениях с процентами часто приходится округлять результаты, особенно если дробь не выражается конечной десятичной дробью. В данном случае, 5/9 ≈ 0,555... с бесконечным повторением цифры 5, что округляется до 55,6% при указании с точностью до десятых долей процента.

Пояснение:

В 5 литрах 20% раствора содержится 5 × 0,2 = 1 литр соли. После добавления воды концентрация станет 10%. Пусть добавили x литров воды, тогда объем нового раствора будет 5 + x литров, а количество соли останется прежним — 1 литр. По условию, 1 ÷ (5 + x) = 0,1 (10%). Отсюда 5 + x = 1 ÷ 0,1 = 10, значит, x = 10 - 5 = 5. Можно решить и по-другому. Применим закон сохранения массы вещества: C₁V₁ = C₂V₂, где C — концентрация, V — объем. У нас C₁ = 20%, V₁ = 5 л, C₂ = 10%, V₂ = ? 0,2 × 5 = 0,1 × V₂, откуда V₂ = 1 ÷ 0,1 = 10 л. Значит, нужно добавить воды: 10 - 5 = 5 литров.

Пояснение:

Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a², где a — длина стороны. Пусть первоначальная сторона равна a, тогда первоначальная площадь S₁ = a². После увеличения стороны на 20% её длина станет 1,2a, а площадь S₂ = (1,2a)² = 1,44a². Изменение площади в процентах: ((S₂ - S₁) ÷ S₁) × 100% = ((1,44a² - a²) ÷ a²) × 100% = (0,44a² ÷ a²) × 100% = 44%. Таким образом, площадь увеличится на 44%. Важно заметить, что процент изменения площади не равен удвоенному проценту изменения стороны, так как зависимость площади от стороны квадратичная, а не линейная. При увеличении линейного размера на p% площадь увеличивается на (1 + p/100)² - 1, умноженное на 100%.

Пояснение:

Количество девочек составляет 40% от 300 учеников: 300 × 0,4 = 120 девочек. Количество мальчиков: 300 - 120 = 180 мальчиков. Разница между количеством мальчиков и девочек: 180 - 120 = 60. Можно решить задачу и по-другому: если 40% учеников — девочки, то 60% — мальчики. Разница составляет 60% - 40% = 20% от общего числа учеников, то есть 300 × 0,2 = 60. Таким образом, мальчиков в школе на 60 больше, чем девочек. Этот пример показывает, как проценты помогают анализировать соотношения между различными группами в общей совокупности и находить абсолютные различия между ними.

Пояснение:

Пусть первоначальная цена товара равна x рублей. После снижения на 20% цена стала 0,8x рублей. После повышения этой цены на 20% получаем 0,8x × 1,2 = 0,96x рублей. Изменение цены в процентах: ((0,96x - x) ÷ x) × 100% = ((-0,04x) ÷ x) × 100% = -4%. Таким образом, цена уменьшилась на 4%. Важно понимать, что при последовательном изменении на один и тот же процент в разных направлениях (сначала уменьшение, потом увеличение) итоговое значение не возвращается к исходному. Это происходит потому, что каждое процентное изменение вычисляется относительно текущего значения, а не исходного.

Пояснение:

При снижении стоимости на 15% новая стоимость составляет 85% (100% - 15%) от первоначальной. Вычислим: 500 000 × 0,85 = 425 000 рублей. Можно также найти сумму, на которую снизилась стоимость, и вычесть её из первоначальной стоимости. Снижение составляет 15% от 500 000 рублей: 500 000 × 0,15 = 75 000 рублей. Тогда новая стоимость: 500 000 - 75 000 = 425 000 рублей. Таким образом, после снижения на 15% стоимость автомобиля стала 425 000 рублей. Задачи на изменение стоимости актуальны для понимания процессов амортизации, обесценивания и изменения цен на рынке.

Пояснение:

Чтобы найти 25% от 32, умножим 32 на 0,25: 32 × 0,25 = 8. Можно решить и по-другому: 25% = 1/4, поэтому 25% от 32 — это четверть от 32, то есть 32 ÷ 4 = 8. Проверка: 8 составляет 25% от 32, так как 8 ÷ 32 × 100% = 25%. Таким образом, на дополнительные занятия осталось 8 учеников. Задачи на проценты, связанные с количеством людей, решаются так же, как и другие задачи на проценты, но нужно помнить, что результат обычно должен быть целым числом, так как нельзя иметь дробное количество людей.

Пояснение:

Пусть первоначальное число равно x. После увеличения на 40% оно стало 1,4x. После уменьшения на 50% получаем 1,4x × 0,5 = 0,7x. Итоговое число меньше первоначального на (x - 0,7x) = 0,3x, что составляет 0,3x ÷ x × 100% = 30% от первоначального числа. Таким образом, итоговое число меньше первоначального на 30%. Можно решить и по-другому: после последовательного увеличения на 40% и уменьшения на 50% число составляет 0,7 или 70% от первоначального. Значит, оно уменьшилось на 100% - 70% = 30%. Важно понимать, что при последовательных процентных изменениях нельзя просто складывать или вычитать проценты, так как каждое изменение вычисляется относительно текущего значения.