Тест по математике: Натуральные числа (5 класс)

Пояснение:

Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Среди предложенных вариантов только число 7 является натуральным. Число -5 отрицательное, поэтому не является натуральным. Число 0 не относится к натуральным числам, так как натуральный ряд начинается с единицы. Число 4,5 — это дробное число, а натуральные числа всегда целые.

Таким образом, только число 7 удовлетворяет определению натурального числа.

Пояснение:

Натуральный ряд представляет собой последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Каждое следующее число в натуральном ряду получается путём прибавления единицы к предыдущему числу. Таким образом, число, идущее в натуральном ряду сразу после 999, получается путём прибавления единицы: 999 + 1 = 1000.

Поэтому число 1000 следует в натуральном ряду сразу за числом 999.

Это иллюстрирует непрерывность натурального ряда и принцип образования следующего числа.

Пояснение:

Чтобы найти количество натуральных чисел между 28 и 34, нужно перечислить все натуральные числа, которые больше 28 и меньше 34. Это числа 29, 30, 31, 32 и 33. Всего получается 5 натуральных чисел.

Другой способ решения: количество натуральных чисел между a и b равно b - a - 1. В нашем случае: 34 - 28 - 1 = 5. Важно помнить, что при подсчете натуральных чисел между двумя числами сами границы интервала не учитываются.

Пояснение:

Если обозначить первое из трёх последовательных натуральных чисел за x, то второе будет x + 1, а третье — x + 2.

Их сумма равна x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3(x + 1). То есть такая сумма всегда делится на 3.

Из предложенных чисел на 3 делится только число 15 (15 ÷ 3 = 5).

Действительно, 15 = 4 + 5 + 6, где 4, 5 и 6 — три последовательных натуральных числа.

Другие числа (14, 16 и 17) не делятся на 3 без остатка, поэтому их нельзя представить в виде суммы трёх последовательных натуральных чисел.

Пояснение:

Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.

Чтобы найти их количество, можно вычислить разность между наибольшим и наименьшим двузначными числами и прибавить единицу: 99 - 10 + 1 = 90.

Другой способ: в разряде десятков могут стоять цифры от 1 до 9 (всего 9 вариантов), а в разряде единиц — цифры от 0 до 9 (всего 10 вариантов).

По правилу умножения получаем 9 × 10 = 90 двузначных чисел. Таким образом, всего существует 90 двузначных натуральных чисел.

Пояснение:

Число делится на 8 без остатка, если его можно представить в виде произведения числа 8 на натуральное число.

Проверим каждое из предложенных чисел.

122 ÷ 8 = 15,25 (не целое число)

124 ÷ 8 = 15,5 (не целое число)

128 ÷ 8 = 16 (целое число)

130 ÷ 8 = 16,25 (не целое число)

Таким образом, только число 128 делится на 8 без остатка.

Другой способ: число делится на 8, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. В числе 128 последние три цифры образуют само число 128, и 128 = 8 × 16, то есть делится на 8.

Пояснение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Чтобы найти НОК(6, 8), можно выписать несколько первых кратных каждого числа и найти наименьшее общее число в этих списках.

Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...

Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, ...

Наименьшее общее число в этих списках — 24.

Другой способ: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b), где НОД — наибольший общий делитель. НОД(6, 8) = 2, поэтому НОК(6, 8) = 6 × 8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24.

Пояснение:

Составное число — это натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей. То есть, помимо 1 и самого себя, составное число имеет хотя бы ещё один натуральный делитель.

Проверим каждое из предложенных чисел.

Делители числа 3: 1 и 3 (всего 2)

Делители числа 7: 1 и 7 (всего 2)

Делители числа 11: 1 и 11 (всего 2)

Делители числа 15: 1, 3, 5 и 15 (всего 4)

Таким образом, только число 15 является составным, так как имеет более двух делителей. Числа 3, 7 и 11 являются простыми, так как каждое из них имеет ровно два делителя.

Пояснение:

Чтобы найти количество четырёхзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения, нужно использовать правила комбинаторики.

В четырёхзначном числе должны быть использованы все четыре цифры, каждая ровно один раз. Это задача на подсчёт числа перестановок из 4 элементов.

Количество таких перестановок равно 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Другими словами, первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую — 3 способами, третью — 2 способами, и на четвёртую позицию остаётся 1 вариант.

По правилу умножения получаем 4 × 3 × 2 × 1 = 24 различных четырёхзначных числа.

Пояснение:

Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999 включительно.

Наибольшее трёхзначное число — это число 999. Оно имеет три разряда, и в каждом разряде стоит наибольшая возможная цифра 9.

Число 1000 уже является четырёхзначным, поэтому оно не может быть ответом на данный вопрос.

Число 999 на 1 меньше, чем 1000, и является последним в ряду трёхзначных чисел.

Каждое следующее число в натуральном ряду получается путём прибавления единицы к предыдущему числу, поэтому число, следующее за 999, — это 1000.

Пояснение:

Чтобы определить количество нулей в конце числа (то есть, количество нулей, которыми оканчивается число), нужно выяснить, сколько множителей 10 содержится в разложении числа на простые множители.

Число 10 = 2 × 5, поэтому нужно найти количество пар множителей 2 и 5. В произведении 5 × 4 × 3 × 2 × 1 содержится один множитель 5 и два множителя 2 (в числах 4 = 2² и 2).

Так как множителей 5 меньше, чем множителей 2, количество пар определяется количеством множителей 5.

Таким образом, в конце числа будет один нуль. Действительно, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, и это число оканчивается одним нулём.

Пояснение:

Чтобы найти пропущенное число в последовательности, нужно определить закономерность её построения.

Найдём разность между соседними числами: 6 - 2 = 4, 12 - 6 = 6, 20 - 12 = 8, 30 - 20 = 10.

Видно, что каждая следующая разность на 2 больше предыдущей.

Следующая разность должна быть 10 + 2 = 12. Значит, пропущенное число равно 30 + 12 = 42. После него должно идти число 42 + 14 = 56, что соответствует условию.

Таким образом, пропущенное число — 42. Эта последовательность чисел называется последовательностью треугольных чисел, где n-е число равно n(n+1)/2.

Пояснение:

Чтобы найти все делители числа 36, нужно выписать все натуральные числа, на которые 36 делится без остатка.

Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Всего получается 9 различных делителей.

Можно также решить эту задачу, разложив 36 на простые множители: 36 = 2² × 3². Каждый делитель числа 36 имеет вид 2ᵏ × 3ᵐ, где k может принимать значения 0, 1 или 2, а m может принимать значения 0, 1 или 2.

По правилу умножения получаем 3 × 3 = 9 различных делителей.

Таким образом, число 36 имеет 9 различных делителей.

Пояснение:

Пояснение:

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само это число.

Проверим каждое из предложенных чисел.

Делители числа 13: 1 и 13 (всего 2) — простое число.

Делители числа 17: 1 и 17 (всего 2) — простое число.

Делители числа 21: 1, 3, 7 и 21 (всего 4) — составное число.

Делители числа 23: 1 и 23 (всего 2) — простое число.

Таким образом, только число 21 не является простым. Число 21 можно разложить на простые множители: 21 = 3 × 7, что подтверждает, что оно составное.

Пояснение:

Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка оба данных числа.

Чтобы найти НОД(36, 60), можно использовать алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Разложим числа на простые множители: 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5.

НОД включает в себя общие множители с наименьшими показателями: НОД(36, 60) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12.

Можно также найти все делители каждого числа и выбрать наибольший общий: делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; делители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Наибольший общий делитель — 12.

Пояснение:

Три числа образуют пропорцию, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго к третьему.

Если обозначить искомое число за x, то должно выполняться равенство: 5 ÷ x = x ÷ 8. Умножая обе части на x, получаем: 5 = x² ÷ 8.

Умножая обе части на 8, получаем: 5 × 8 = x². Отсюда x² = 40, x = √40 ≈ 6,32.

Более точное значение: x = 2√10 ≈ 6,32455.

Среди предложенных вариантов наиболее близким к этому значению является число 6,4.

Таким образом, чтобы получить пропорцию, между числами 5 и 8 нужно вставить число 6,4.

Пояснение:

Проверим каждое из утверждений.

1) Сумма двух чётных чисел всегда чётна, а не нечётна (например, 2 + 4 = 6 — чётное число).

2) Произведение двух нечётных чисел всегда нечётно, а не чётно (например, 3 × 5 = 15 — нечётное число).

3) Сумма трёх последовательных натуральных чисел: (n) + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1), где n — натуральное число. Это выражение всегда делится на 3, что подтверждает верность утверждения. Например, 4 + 5 + 6 = 15, и 15 ÷ 3 = 5.

4) Произведение любых трёх натуральных чисел может не делиться на 3 (например, 2 × 4 × 8 = 64, и 64 не делится на 3).

Пояснение:

Нужно найти все двузначные числа, у которых сумма цифр равна 7.

Обозначим цифру десятков через a, цифру единиц через b. По условию a + b = 7.

Поскольку число двузначное, 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9. С учётом условия a + b = 7, получаем следующие пары (a, b): (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (7, 0).

Каждой паре соответствует двузначное число: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70. Всего получается 7 двузначных чисел, у которых сумма цифр равна 7.

Легко проверить, что у каждого из этих чисел сумма цифр действительно равна 7.

Пояснение:

Пусть x — искомое число, а S(x) — сумма его цифр.

По условию, x = 2 × S(x). Предположим, что x — однозначное число.

Тогда S(x) = x и x = 2 × x, откуда x = 0, что не является натуральным числом.

Предположим, что x — двузначное число, x = 10a + b, где a и b — цифры числа x.

Тогда S(x) = a + b и x = 2 × S(x), то есть 10a + b = 2(a + b) = 2a + 2b.

Отсюда 8a = b, но поскольку b — цифра, то 0 ≤ b ≤ 9, а это значит, что a ≤ 1.

Если a = 0, то x однозначное, что противоречит предположению.

Если a = 1, то b = 8 и x = 18. Проверим: S(18) = 1 + 8 = 9, 2 × 9 = 18 = x.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое в 2 раза больше суммы своих цифр, — это 18.