Тест по математике: Длина окружности (6 класс)
Тест по математике «Длина окружности» — это интерактивная проверочная (контрольная) работа онлайн, рассчитанная на учащихся 6 класса. Тест поможет проверить знание основных формул для нахождения длины окружности, умение решать задачи на вычисление и применение математических навыков в практических ситуациях.
1
Чему равен радиус окружности, если ее длина равна 62,8 см? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
10 смПояснение:
Для нахождения радиуса окружности используем формулу длины окружности L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус, π ≈ 3,14. Выразим радиус из формулы: R = L/(2π). Подставляем известные значения: R = 62,8/(2·3,14) = 62,8/6,28 = 10 см. Таким образом, радиус окружности равен 10 см. Проверить результат можно, вычислив длину окружности с найденным радиусом: L = 2·3,14·10 = 62,8 см.2
Какая формула используется для нахождения длины окружности через диаметр?
Правильный ответ:
L = πDПояснение:
Длина окружности через диаметр вычисляется по формуле L = πD, где L — длина окружности, D — диаметр окружности, π — математическая константа (приблизительно равная 3,14159). Эта формула является производной от формулы длины окружности через радиус L = 2πR, поскольку диаметр D = 2R. Подставляя выражение для диаметра в формулу длины окружности, получаем: L = 2πR = π(2R) = πD. Эта формула позволяет быстро вычислять длину окружности, если известен её диаметр.3
Чему равна длина окружности, если ее радиус равен 7 см? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
43,96 смПояснение:
Для нахождения длины окружности используем формулу L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус окружности, π ≈ 3,14. Подставляем данные задачи в формулу: L = 2·3,14·7 = 6,28·7 = 43,96 см. Эту формулу важно знать, так как она является одной из основных при решении задач на окружность. Диаметр окружности в данном случае равен 14 см, и если бы использовали формулу через диаметр (L = πD), получили бы: L = 3,14·14 = 43,96 см, что дает тот же результат.4
Диаметр окружности равен 12 см. Найдите длину этой окружности. (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
37,68 смПояснение:
Для нахождения длины окружности через диаметр используем формулу L = πD, где L — длина окружности, D — диаметр, π ≈ 3,14. Подставляем данные задачи в формулу: L = 3,14·12 = 37,68 см. Можно также использовать формулу через радиус окружности: L = 2πR. Так как радиус равен половине диаметра, то R = D/2 = 12/2 = 6 см. Тогда L = 2·3,14·6 = 37,68 см. Мы получили тот же результат, что подтверждает правильность решения.5
Чему примерно равна длина окружности радиусом 5 м? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
31,4 мПояснение:
Для вычисления длины окружности по известному радиусу применяем формулу L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус в метрах, π ≈ 3,14. Подставив значение радиуса R = 5 м в формулу, получаем: L = 2·3,14·5 = 6,28·5 = 31,4 м. Таким образом, длина окружности радиусом 5 метров составляет приблизительно 31,4 метра. Важно заметить, что если бы диаметр был 5 м (а радиус 2,5 м), то длина окружности была бы 15,7 м, но в задаче указан именно радиус окружности.6
Какова длина окружности, если ее диаметр равен 14 дм? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
43,96 дмПояснение:
Для вычисления длины окружности по известному диаметру используем формулу L = πD, где L — длина окружности, D — диаметр, π ≈ 3,14. Подставляем данные задачи: L = 3,14·14 = 43,96 дм. Можно также решить задачу через радиус: радиус R = D/2 = 14/2 = 7 дм, тогда длина окружности L = 2πR = 2·3,14·7 = 43,96 дм. Обе формулы дают один и тот же результат, что подтверждает верность решения. Длина окружности с диаметром 14 дм составляет 43,96 дм.7
Велосипедное колесо имеет диаметр 70 см. Какое расстояние проедет велосипедист, если колесо сделает 100 оборотов? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
220 мПояснение:
Чтобы решить задачу, сначала найдем длину окружности колеса по формуле L = πD, где D — диаметр, π ≈ 3,14. L = 3,14·70 = 219,8 ≈ 220 см. При одном обороте колесо проходит расстояние, равное длине окружности. Значит, за 100 оборотов велосипедист проедет: 220·100 = 22000 см = 220 м. Можно проверить: длина окружности через радиус R = D/2 = 35 см: L = 2πR = 2·3,14·35 = 219,8 см, колесо проедет за 100 оборотов 219,8·100 = 21980 см ≈ 220 м.8
Длина окружности равна 25,12 см. Чему равен ее диаметр? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
8 смПояснение:
Для нахождения диаметра окружности по известной длине используем формулу L = πD и выражаем из неё диаметр: D = L/π, где L — длина окружности, π ≈ 3,14. Подставляем данные задачи: D = 25,12/3,14 = 8 см. Проверим результат, вычислив длину окружности с найденным диаметром: L = πD = 3,14·8 = 25,12 см, что совпадает с исходной длиной. Если бы мы нашли радиус (R = D/2 = 4 см), то могли бы проверить по формуле L = 2πR = 2·3,14·4 = 25,12 см. Оба способа подтверждают, что диаметр равен 8 см.9
Если радиус окружности увеличить в 3 раза, то как изменится длина окружности?
Правильный ответ:
Увеличится в 3 разаПояснение:
Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πR, где R — радиус окружности. Если радиус увеличивается в 3 раза (становится 3R вместо R), то новая длина окружности будет L₁ = 2π·3R = 3·2πR = 3L. То есть длина окружности увеличится в 3 раза. Это показывает прямо пропорциональную зависимость между радиусом и длиной окружности: если радиус увеличивается в какое-то количество раз, то длина окружности увеличивается во столько же раз. Площадь круга увеличилась бы в 9 раз, но в данном случае речь идет о длине окружности.10
Длина окружности равна 62,8 м. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью. (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
314 м²Пояснение:
Для решения задачи нужно сначала найти радиус окружности по формуле L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус. Выразим радиус: R = L/(2π) = 62,8/(2·3,14) = 62,8/6,28 = 10 м. Теперь найдем площадь круга по формуле S = πR² = 3,14·10² = 3,14·100 = 314 м². Проверим: если радиус равен 10 м, то диаметр D = 20 м, длина окружности L = πD = 3,14·20 = 62,8 м, что соответствует условию задачи. Площадь круга при радиусе 10 м равна S = πR² = 3,14·100 = 314 м².11
Две окружности имеют радиусы 5 см и 8 см. Во сколько раз длина большей окружности больше длины меньшей?
Правильный ответ:
В 1,6 разаПояснение:
Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πR. Длина первой окружности L₁ = 2πR₁ = 2π·5 = 10π см. Длина второй окружности L₂ = 2πR₂ = 2π·8 = 16π см. Отношение длин окружностей: L₂/L₁ = 16π/10π = 16/10 = 1,6. Таким образом, длина большей окружности больше длины меньшей в 1,6 раза. Данное отношение равно отношению их радиусов: 8/5 = 1,6. Это демонстрирует, что длины окружностей прямо пропорциональны их радиусам. Если одна окружность имеет радиус в k раз больше другой, то и её длина будет в k раз больше.12
Длина окружности равна 18,84 см. Чему равен радиус окружности? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
3 смПояснение:
Для нахождения радиуса окружности по ее длине используем формулу L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус, π ≈ 3,14. Выразим радиус: R = L/(2π) = 18,84/(2·3,14) = 18,84/6,28 = 3 см. Проверим полученный ответ: при радиусе R = 3 см длина окружности L = 2πR = 2·3,14·3 = 18,84 см, что совпадает с условием задачи. Диаметр такой окружности равен D = 2R = 2·3 = 6 см, и по формуле L = πD получаем L = 3,14·6 = 18,84 см, что также подтверждает правильность нашего решения.13
Автомобильное колесо имеет диаметр 60 см. Сколько оборотов сделает колесо на пути 471 м? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
250 оборотовПояснение:
Для решения задачи найдём длину окружности колеса по формуле L = πD, где D — диаметр, π ≈ 3,14. L = 3,14·60 = 188,4 см = 1,884 м. За один оборот колесо проходит расстояние, равное длине окружности. Чтобы найти количество оборотов на пути 471 м, разделим это расстояние на длину одного оборота: 471/1,884 = 250 оборотов. Можно также решить через радиус: R = D/2 = 60/2 = 30 см, L = 2πR = 2·3,14·30 = 188,4 см, и далее так же — 471 м / 1,884 м = 250 оборотов. Колесо сделает 250 полных оборотов.
14
В окружности с центром O радиус равен 12 см. Чему равна длина дуги, составляющей 1/6 часть окружности?
Правильный ответ:
4π смПояснение:
Длина всей окружности L = 2πR, где R — радиус окружности. L = 2π·12 = 24π см. Дуга составляет 1/6 часть окружности, поэтому её длина равна L₁ = L/6 = 24π/6 = 4π см. Можно также рассчитать длину дуги по формуле L₁ = (α/360°)·2πR, где α — градусная мера дуги. Так как дуга составляет 1/6 часть окружности, её градусная мера α = 360°/6 = 60°. Тогда L₁ = (60°/360°)·2π·12 = (1/6)·24π = 4π см. Оба способа дают одинаковый результат, подтверждая правильность решения.
15
Периметр сектора с углом 90° и радиусом 10 см равен:
Правильный ответ:
20 + 5π смПояснение:
Периметр сектора складывается из длины дуги и двух радиусов. Длина дуги с углом 90° (четверть окружности) равна L₁ = (90°/360°)·2πR = (1/4)·2π·10 = 5π см. Два радиуса в сумме дают 2R = 2·10 = 20 см. Итак, периметр сектора равен P = 2R + L₁ = 20 + 5π см. Можно проверить: угол 90° — это четверть от полного угла в 360°, поэтому длина дуги составляет четверть длины всей окружности: L/4 = (2πR)/4 = πR/2 = π·10/2 = 5π см. Периметр сектора P = 2R + 5π = 20 + 5π см, что подтверждает найденный ответ.16
Велосипедное колесо радиусом 35 см сделало 200 оборотов. Какое расстояние проехал велосипедист?
Правильный ответ:
439,6 мПояснение:
За один оборот колесо проезжает расстояние, равное длине окружности. Длина окружности находится по формуле L = 2πR, где R — радиус, π ≈ 3,14. L = 2·3,14·35 = 219,8 см = 2,198 м. За 200 оборотов велосипедист проедет S = L·200 = 2,198·200 = 439,6 м. Можно также найти длину окружности через диаметр: D = 2R = 2·35 = 70 см, L = πD = 3,14·70 = 219,8 см = 2,198 м, и затем умножить на количество оборотов: S = 2,198·200 = 439,6 м. Оба способа подтверждают, что велосипедист проехал 439,6 м.17
Чему равна длина окружности радиусом 2√3 см? (Принять π ≈ 3,14)
Правильный ответ:
4π√3 смПояснение:
Для нахождения длины окружности используем формулу L = 2πR, где R — радиус окружности. Подставляем радиус R = 2√3 см: L = 2π·2√3 = 4π√3 см. Чтобы получить численное значение, можно приблизительно вычислить: √3 ≈ 1,73, π ≈ 3,14, тогда L ≈ 4·3,14·1,73 ≈ 21,7 см. Но в ответе оставляем точное выражение 4π√3 см. Если бы использовали диаметр, то D = 2R = 2·2√3 = 4√3 см, и по формуле L = πD получим L = π·4√3 = 4π√3 см, что совпадает с предыдущим результатом.18
Какое из следующих утверждений верно?
Правильный ответ:
Отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π.Пояснение:
Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πR (через радиус) или L = πD (через диаметр), где R — радиус, D — диаметр окружности. Из второй формулы следует, что отношение длины окружности к ее диаметру: L/D = πD/D = π. Это одно из фундаментальных определений числа π. Утверждение о пропорциональности длины квадрату радиуса неверно: длина пропорциональна радиусу (или диаметру) в первой степени. Утверждение о произведении диаметра на радиус тоже неверно: если D = 2R, то D·R = 2R·R = 2R², что не соответствует формуле длины. При увеличении радиуса в 2 раза длина увеличивается тоже в 2 раза, а не в 4.
19
Окружность имеет длину 10π см. Чему равен её радиус?
Правильный ответ:
5 смПояснение:
Для нахождения радиуса окружности по её длине используем формулу L = 2πR, где L — длина окружности, R — радиус. Выразим радиус: R = L/(2π). Подставляем L = 10π см: R = 10π/(2π) = 5 см. Проверим: при радиусе 5 см длина окружности L = 2π·5 = 10π см, что совпадает с условием задачи. Диаметр такой окружности D = 2R = 2·5 = 10 см, и по формуле L = πD получаем L = π·10 = 10π см, что также подтверждает правильность нашего решения. Таким образом, радиус окружности с длиной 10π см равен 5 см.20
Длина окружности в 2 раза больше длины её диаметра. Чему равно отношение длины окружности к длине радиуса?
Правильный ответ:
4Пояснение:
По условию задачи L = 2D, где L — длина окружности, D — диаметр. Из формулы L = πD следует, что πD = 2D, откуда π = 2. Отношение длины окружности к радиусу: L/R = 2πR/R = 2π. Подставляя π = 2, получаем L/R = 2·2 = 4. Важно понимать, что здесь мы рассматриваем гипотетическую ситуацию, где π = 2 (на самом деле π ≈ 3,14). В стандартной окружности отношение L/R = 2π ≈ 6,28. Данная задача проверяет понимание зависимостей между величинами, связанными с окружностью, и умение использовать формулы в нестандартных условиях.
